Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
 Глава 9. § 1  |  Оглавление |  Глава 9. § 3

§ 2.  Алгебраические задачи на неравенство треугольника

В задачах этого параграфа a,b и c- длины сторон произвольного треугольника.

9.6.
Докажите, что a = y + z, b = x + z и c = x + y, где x,y и z - положительные числа.
9.7.
Докажите, что a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
9.8.
При любом натуральном n из чисел an, bn и cn можно составить треугольник. Докажите, что среди чисел a,b и c есть два равных.
9.9.
Докажите, что
a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 + 4abc > a3 + b3 + c3.
9.10.
Пусть 
p =   a
b
  +   b
c
  +   c
a

и 
q =   a
c
  +   c
b
  +   b
a

. Докажите, что |p – q| < 1.
9.11*.
Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.
9.12*.
Докажите, что
(a + b – c)(a – b + c)( – a + b + c) Ј abc.
9.13*.
Докажите, что
a2b(a – b) + b2c(b – c) + c2a(c – a) і 0.
  Глава 9. § 1  |  Оглавление |  Глава 9. § 3
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100