Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002

 Глава 9. § 2  |  Оглавление |  Глава 9. § 4

§ 3.  Сумма длин диагоналей четырехугольника

9.14.
Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. Докажите, что AB + CD < AC + BD.
9.15.
Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, причем AB + BD Ј AC + CD. Докажите, что AB < AC.
9.16*.
Внутри выпуклого четырехугольника с суммой длин диагоналей d расположен выпуклый четырехугольник с суммой длин диагоналей dў. Докажите, что dў < 2d.
9.17*.
Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет бóльшую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся.
9.18*.
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?
9.19*.
На плоскости даны n красных и n синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек.
9.20*.
Докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин всех его диагоналей.
9.21*.
Пусть дан выпуклый  (2n + 1)-угольник  A1A3A5A2n + 1A2A2n. Докажите, что среди всех замкнутых ломаных с вершинами в его вершинах наибольшую длину имеет ломаная A1A2A3A2n + 1A1.

  Глава 9. § 2  |  Оглавление |  Глава 9. § 4

Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru.
Rambler's Top100