На главную страницу НМУ

А.М.Красносельский, Д.И.Рачинский

Топологические методы и краевые задачи

Курс содержит изложение основ топологических методов и их применения к исследованию некоторых задач нелинейного анализа (задачи о периодических решениях и задаче Дирихле), вырожденных в линейном приближении. Особое внимание уделено применению топологических методов в задачах о бифуркациях Андронова--Пуанкаре--Хопфа. Курс начинается с классических простых вещей и завершается современными результатами.}

1. Введение ( Плоские векторные поля, угловая функция, вращение плоских полей и его вычисление. Другие определения плоского вращения, поля в трехмерном пространстве. Порядок точки относительно кривой, степень отображения.) (1 лекция)
2. Поля в конечномерных пространствах. Гомотопическая классификация. Вращение конечномерного векторного поля. Простейшие теоремы о вычислении вращения. Теоремы о произведении вращения. Индекс особой точки. Линейные векторные поля. Индекс на бесконечности. (2 лекция)
3. Вращение бесконечномерных вполне непрерывных полей. Принципы Шаудера и Лере-Шаудера и вращение. Применение к простейшим абстрактным теоремам о существовании решений, к задачам о бифуркациях, исследование непрерывных ветвей решений. Для каких еще векторных полей определено вращение. (1 лекция)
4. Краевые задачи. Линейные операторы задачи Дирихле и периодической задачи. Нормальные операторы. Уравнение Гаммерштейна. Функциональные нелинейности, свойства оператора суперпозиции, эквивалентные уравнения. Нелинейности с запаздыванием. (1 лекция)
5. Односторонние и двусторонние оценки в задачах о существовании и единственности решений. (1 лекция)
6. Вырожденные нелинейные задачи. Система бифуркации. Асимптотически однородные нелинейности. Примеры. Уравнения с асимптотически однородными нелинейностями. Теоремы Лазера, вычисление индекса на бесконечности. (2 лекции)
7. Бифуркации в окрестности особой точки и на бесконечности. Принцип смены индекса. Примеры, бифуркационные диаграммы. Примеры для краевых задач. Нечетнократные собственные значения. Нелинейный резонанс. (2 лекции)
8. Бифуркации Андронова--Пуанкаре--Хопфа в нуле и на бесконечности. Подробное доказательство для двумерного случая. Вырожденные случаи в нуле и на бесконечности. Резонансы. Количество рождающихся ветвей циклов. Глобальные бифуркации. (2 лекции)

Предполагется знание элементарного курса диффренциальных уравнений и элементарного курса функционального анализа (анализа-3)