[Лекция 1 (54K)|Лекция 2 (56K)|Лекция 3 (64K)|Лекция 4 (45K)
Лекция 5 (36K)]
[Лекция 1 (54K)|Лекция 2 (56K)|Лекция 3 (64K)|Лекция 4 (45K)
Лекция 5 (36K)]
[Postscript (41K)|Zipped postscript (16K)]
Мы постараемся рассмотреть некоторые применения векторных расслоений и характеристических классов.
Данный курс задуман как продолжение читавшегося в прошлом семестре курса дифференциальной геометрии, но новые слушатели также всячески приветствуются: для понимания достаточно базовых знаний из дифференциальной геометрии, кое-что из прошлого семестра будет вкратце повторено (см. раздел 0 программы).
0. Краткое напоминание: векторные расслоения и конструкция Чженя-Вейля характеристических классов.
1. Начала K-теории: группа Гротендика абелевой полугруппы с единицей, К-группа многообразия, К-группа с компактным носителем, характер Чженя с компактным носителем.
2. Дифференциальные операторы на сечениях векторных расслоений. Символ оператора. Эллиптические операторы. Топологический и аналитический индекс оператора. Теорема Атьи-Зингера (без доказательства). Пример: оператор d+d^*, теорема Гаусса-Бонне и теорема Хирцебруха как следствия теоремы Атьи-Зингера.
3. Гармонические формы. Теорема Ходжа.
4. Электромагнитное поле, калибровочные поля и связности в расслоениях. Уравнение и функционал Янга-Миллса, инстантоны. Связь с характеристическими классами. Функционалы Чженя-Саймонса, Ландау-Гинзбурга.
Если вдруг останется лишнее время:
5. Алгебра Клиффорда, спиноры и спинорная структура. Оператор Дирака, функционал Зайберга-Виттена.
