На главную страницу НМУ
Алексей Викторович Пенской
Спектральная геометрия
Спецкурс читается на английском.
Целью спецкурса является изложение элементов спектральной
геометрии - области дифференциальной геометрии, изучающей
связь римановой структуры на многообразии и спектра
оператора Лапласа-Бельтрами и его собственных функций.
Основное направление курса: введение в теорию экстремальных
метрик - совсем недавней части спектральной геометрии, в которой
в 2000-е годы произошли заметные продвижения. Материал значительной
части курса будет излагаться по статьям последних лет и не
отражен в учебной литературе.
Программа курса:
- - Оператор Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях.
- - Спектр оператора Лапласа-Бельтрами (задачи Дирихле, Неймана и на многообразии без края)
- - Спектральная задача Стеклова
- - Вариационный принцип описания собственных значений, отношение Рэлея
- - Функция Вейля, асимптотика собственных значений
- - Неравенства для собственных значений
- - Нодальные области, теорема Куранта
- - Изопериметрические неравенства, симметризация
- - Изопериметрическая константа Чигера и неравенство Чигера,
- - Зависимость собственных значений от метрики, теорема Берже
- - Геометрическая оптимизация собственных значений, экстремальные метрики
- - Экстремальные метрики и минимальные подмногообразия в сферах
- - Какие экстремальные метрики сейчас известны?
- - Ядро теплопроводности (если будет время)
