Алексей Клименко

Гладкие динамические системы

Курс рассчитан на студентов 2-5 курса. Желательно (но необязательно), чтобы студент уже прослушал (какой угодно) курс типа "Введение в теорию динамических систем" и был знаком с такими примерами динамических систем, как поворот окружности, подкова Смейла, соленоид Смейла-Вильямса, гиперболический автоморфизм тора.

Экзамен.ps

[Exam.ps ]

Программа курса

1. Введение-напоминание: основные теоремы об обыкновенных дифференциальных уравнениях (существование и единственность, продолжимость и пр.).
2. Элементы анализа в банаховых пространствах (теорема о неявной функции).
3. Теорема существования, единственности, непрерывности и дифференцируемости по параметрам решений ОДУ --- доказательство Роббина.
4. Автономные дифференциальные уравнения. Векторные поля --- ДУ на многообразиях. Поток, порождаемый векторным полем.
5. Теория Пуанкаре-Бендиксона.
6. Линейные дифференциальные уравнения: напоминание основных свойств, качественное поведение траекторий.
7. Нелинейные гиперболические особые точки. Теоремы Адамара-Перрона и Гробмана-Хартмана.
8. Гладкие динамические системы с непрерывным и дискретным временем. Их связи (поток за единичное время, отображение Пуанкаре, надстройка над диффеоморфизмом).
9. Гиперболические динамические системы: определение, примеры.
10. Существование инвариантных многообразий.
11. Отслеживание псевдотраекторий и их семейств.
12. Локально максимальные гиперболические множества. (Теорема о локальной структуре прямого произведения, марковские разбиения.)

Список литературы:

[1] А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. М., МЦНМО, 2005.
[2] А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем. М., Факториал, 1999.
[3] В.И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. (любое издание)
[4] В.А. Зорич. Математический анализ. Часть II. М., МЦНМО, 1998.

Планируется продолжение курса в следующем семестре.