Тимур Мрадович Садыков

Комплексный анализ

Листки (Exercise sheets. pdf)

Программа курса:

Комплексные числа. Сфера Римана и стереографическая проекция.
Голоморфные функции. Степенные ряды и их свойства (лемма Абеля, круг сходимости, голоморфность суммы).
Экспоненциальная и тригонометрические функции.
Условия Коши-Римана. Интегральная теорема и Формула Коши.
Разложение голоморфной функции в степенной ряд. Неравенства Коши.
Теоремы Лиувилля и Мореры. Теорема Вейерштрасса о дифференцировании рядов из голоморфных функций.
Теорема Римана об устранимой особенности. Продолжение через гладкую кривую.
Изолированные особые точки. Теорема Сохоцкого. Разложение в ряд Лорана.
Описание изолированных особых точек в терминах коэффициентов ряда Лорана.
Определение мероморфной функции. Кратность нуля и полюса.
Аналитическое продолжение. Теорема единственности.
Пучок ростков голоморфных функций.
Аналитическая функция и ее риманова поверхность. Неограниченное продолжение и накрытия.
Теорема о монодромии в односвязной области. Аналитическое продолжение первообразной.
Дивизор мероморфной функции. Теорема Миттаг-Леффлера о восстановлении мероморфной функции по ее главным частям в полюсах.
Теорема Вейерштрасса о существовании целой функции с заданными нулями.
Порядок и тип целой функции.
Теорема Коши о вычетах. Вычисление интегралов. Логарифмический вычет.
Теорема Руше. Сохранение области. Принцип максимума. Однолистные функции.
Теорема Гурвица о последовательностях однолистных функций.
Теорема Монтеля (принцип компактности). Теорема Римана о конформном отображении.
Теорема Каратеодори для областей с простой границей. Принцип симметрии.
Малая теорема Пикара. Лемма Шварца. Большая теорема Пикара.
Пучок решений линейного дифференциального уравнения.
Краткий обзор решения 21-й проблемы Гильберта, полученного А.А.Болибрухом.
Эллиптические функции и их свойства. Функция Вейерштрасса.
Дзета-функция и гипотеза Римана.

Литература

Б.В. Шабат, Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1985.
О. Форстер, Римановы поверхности. М:. Мир, 1980.