Conférence "Algorithmique et Arithmétique"
avec applications à la cryptographie

Informations Générales

Le laboratoire franco-russe Poncelet organise un colloque « Arithmétique et géométrie » du 17 au 19 mai 2010.

Avec le développement fulgurant des moyens de calculs et des communications numériques, l'algorithmique permet de mettre en rapport des questions importantes dans de nombreuses branches des mathématiques, notamment la théorie des nombres avec des applications et des avancées technologiques immédiatement mises à la disposition du grand public. Pour preuve, on peut citer la cryptographie, la science du secret, qui est devenue aujourd'hui un sujet incontournable et dont l'une des principales problématiques consiste à développer des algorithmes pour résoudre efficacement des questions naturelles en arithmétique (comme la factorisation, ou le logarithme discret). Il serait malgré tout très réducteur de limiter l'algorithmique de la théorie des nombres aux seules applications à la cryptographie. Une étude sommaire de n'importe quel logiciel de calcul formel spécialisé en arithmétique (comme Pari, Magma, Sage) montre une réelle volonté de rendre possible la manipulation sur machine d'un très grand nombre d'objets (parfois très abstraits) issus de la théorie des nombres : corps de nombres, nombres p-adiques, groupes de Galois, schémas, formes modulaires, etc. Disposer de tels outils est bien sûr un atout essentiel pour le mathématicien théoricien puisque ceux-ci lui permettent par exemple de formuler et de tester simplement des conjectures.

Le but de la conférence est, comme son titre l'indique, de donner un aperçu de la place de l'algorithmique dans la recherche actuelle en arithmétique. Comme bien sûr, il n'est pas possible en une semaine de traiter tous les aspects de la thématique, nous avons décidé de nous limiter aux deux sujets suivants.

• La factorisation d'entiers et le problème du logarithme discret (sur le groupe multiplicatif des corps finis et le groupe des points rationnels d'une jacobienne de courbe algébrique).
• La théorie de Galois. On abordera en particulier des méthodes effectives de calcul de groupes de Galois de polynômes irréductibles sur Q (ou ce qui revient au même de corps de nombres), le problème de Galois inverse, et l'étude des représentations galoisiennes p-adiques, et notamment des liens qu'entretiennent celles-ci avec les formes modulaires ou la cohomologie des variétés.

Pour chacun des deux sujets, nous prévoyons un ou plusieurs exposés introductifs étalés sur une demi-journée ou une journée entière. Suivront ensuite une série d'exposés plus courts destinés à présenter certains travaux récents.

Le colloque a beneficié du support de la Foundation EADS, la Fondation Russe pour des Recherches Fondamentales, Centre National de la Recherche Scientifique. Il est organisé dans le cadre de l'année croisée France-Russie.