Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

В. М. Тихомиров. Великие математики прошлого и их великие теоремы.


Лагранж и его теорема о четырех квадратах

Эта теорема [о четырех квадратах] до сих пор
входит в число величайших достижений математики.
М. Кац , С. Улам

Жозеф Луи Лагранж (1736--1813) родился в Турине, а умер и похоронен в Париже. В его жилах текла французская и итальянская кровь, и поэтому обе нации могут гордиться человеком, который (по словам Талейрана) сделал своим гением честь всему человечеству.

По своим научным установкам Лагранж отличался от своего старшего великого современника — Леонарда Эйлера. Эйлер в течение своей жизни решал и решил огромнейшее, невиданное, ни с чем не сравнимое число отдельных, конкретных задач, и в большинстве своем каждую задачу он решал своим, специальным, особым, индивидуальным приемом. Лагранж же старался отыскать общие закономерности у разнородных явлений, найти потаенные связи между отдельными объектами, вскрыть единство казалось бы несоединимого. Но при всем при том ему принадлежит также и множество замечательных конкретных результатов. Об одном из них — о представлении натуральных чисел в виде суммы четырех квадратов — и будет сейчас рассказано.

Лагранж остался в благодарной памяти всего человечества как светлая, благородная личность. Вот как характеризует его Фурье: "Лагранж был столько же философ, сколько математик. Он доказал это своей жизнью, умеренностью желаний земных благ, глубокой преданностью общим интересам человечества, благородной простотой своих привычек, возвышенностью души и глубокой справедливостью в оценке трудов своих современников".

А теперь перейдем к формулировке и доказательству теоремы Лагранжа.

Теорема 4. Всякое натуральное число есть сумма четырех квадратов целых чисел.

Доказательство. 4.1. Лемма. Произведение чисел, представимых в виде суммы четырех квадратов, есть сумма четырех квадратов.

Доказательство леммы.


(n
12+n22+n32+n42)(m12+m22+m32+m42)= (n1m1+n2m2+n3m3+n4m4)2+ (-n1m2+n2m1-n3m4+n4m3)2+ (-n1m3+n3m1-n4m2+n2m4)2+ (-n1m4+n4m1-n2m3+n3m2)2.

Лемма 4.1 доказана.

4.2. Лемма. Для любого простого числа p>2 найдется число m, m<p, такое что mp=a2+b2+c2, a, b, c.

Доказательство леммы. Рассмотрим два множества чисел:


K={0, 1, 4, ...,
2},
L={-1-0, -1-1, -1-4, ..., -1-
2}.

В каждом из множеств числа попарно не сравнимы по модулю p. В самом деле, возьмем k12 k22 из множества K (или, эквивалентно, -1-k12-1-k22 из множества L), где 0 k1 , 0 k2 2. Если k12k22(mod p), то (k1+k2)(k1-k2) 0 (mod p). Но 0<k1+k2<p и 0<|k1-k2|<p, поскольку k1<p/2, k2<p/2 и k1 k2. Противоречие.

Всего в этих двух множествах p+1 чисел, следовательно, среди них найдутся сравнимые по модулю p, т. е. такие числа 2 из первого множества и 2 из второго, что


2 -1-2(mod p).

Откуда 2+2+1=mp для некоторого m.

Теперь, поскольку <p/2 и <p/2, получаем mp=2+2+1< p2/4+p2/4+1<p2, а значит, m<p. Лемма 4.2 доказана.

4.3. Докажем, что любое простое число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Для p=2 имеем 2=12+12+02+02. Для p>2, по предыдущей лемме, найдется такое m<p, что число mp можно представить в виде mp=n12+n22+n32+n42 (n4 можно положить равным 0). Выберем теперь минимальное натуральное m, обладающее таким свойством. Покажем, что оно равно 1.

Пусть m четно. Тогда либо все ni имеют одинаковую четность, либо среди них есть два четных и два нечетных (нумерация этих чисел не важна, поэтому пусть n1 n2(mod 2), а n3n4(mod 2). В обоих случаях числа


, , ,

являются целыми. Имеем:

2+2+2+2= =p,

значит, p также представляется в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Но <m, а m, по предположению, минимальное число с таким свойством. Противоречие.

Пусть m нечетно. Тогда числа ni можно представить в виде ni=qim+mi (qi, mi), причем |mi|<. Тогда


mp=n
12+n22+n32+n42=sm+m12+m22+m32+m42,

где s — некоторое целое число.
Следовательно, m12+m22+m32+m42=nm, где n -- неотрицательное целое число. Если n=0, то все mi=0, ni=qim, и тогда mp=n12+n22+n32+n42=m2k, где k -- натуральное, т. е. p=mk, m<p, а это означает, что m=1. Предположим теперь, что n1.

Из леммы 4.1 получаем:

(n12+n22+n32+n42)(m12+m22+m32+m42)=s12+s22+s32+s42,

где

s1=n1m1+n2m2+n3m3+n4m4,
s
2=-n1m2+n2m1-n3m4+n4m3,
s
3=-n1m3+n3m1-n4m2+n2m4,
s
4=-n1m4+n4m1-n2m3+n3m2.

По определению, mini(mod m), т. е. s1m12+m22+m32+m420(mod m) и, значит, . Аналогично доказывается, что при i=2, 3, 4. Но тогда (в силу неравенств |mi|<) получаем: nm=m12+m22+m32+m42<m2, т. е. n<m, и в итоге

mp*nm=s12+s22+s32+s42,

откуда

np=2+2+2+2,

что противоречит минимальности m.

Итак, всякое простое число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Тогда, по лемме 4.1, и любое составное число представимо в таком виде. Наконец, 1=12+02+02+02. Теорема 4 доказана.

После теоремы Ферма—Эйлера мы описали все числа, представимые в виде суммы двух квадратов. Теорема Лагранжа утверждает, что все натуральные числа представимы в виде суммы четырех квадратов. Числа, представимые в виде суммы трех квадратов описал Гаусс в 1801 году. О нем — следующий рассказ.

Следующий раздел

На головную страницу