Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

А. А. Болибрух. Проблемы Гильберта (100 лет спустя)


Седьмая проблема Гильберта

Иррациональные числа

Вернемся к подмножествам числовой прямой. Рассмотрим снова цепочку

.

Мы уже доказали, что действительных чисел "больше" чем рациональных, потому что счетно, а --- несчетно. Значит, существуют иррациональные (не являющиеся рациональными) действительные числа. (На самом деле, иррациональных чисел "намного больше" чем рациональных, и если случайным образом бросить точку на числовую прямую, она почти наверняка попадет в иррациональное число.)

Заметим, что мы доказали теорему существования иррациональных чисел, не предъявив ни одного иррационального числа.

Но совсем нетрудно привести и пример иррационального числа, например, это . Действительно, пусть это число рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:

=,

где p и q --- целые числа, не имеющие общих делителей (кроме 1). Возведя это равенство в квадрат, получим
2q2=p2.

Значит, p2 четно, p*p делится на 2. Поэтому p делится на 2, а значит, p2 делится на 4. (Если p=2p1, то p2=4p12.) Тогда
2q2=4p12,
q2=2p12.

Это означает, что q2 делится на 2, поэтому и q делится на 2.

Мы получили, что и p, и q делятся на 2, и дробь можно сократить на 2. Но мы же предполагали, что эта дробь несократима! Полученное противоречие означает, что 2 не может быть рациональным числом.

Итак, --- число иррациональное.

Конечно, когда мы доказали иррациональность числа , мы тем самым еще раз доказали теорему существования иррациональных чисел. Однако существуют и такие классы чисел, доказать существование которых намного проще, чем построить конкретный пример.

Алгебраические и трансцендентные числа

Число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами

anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0

(т. е. корнем уравнения anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0=0, где an, an-1, ..., a1, a0 --- целые числа, n 1, an0).

Множество алгебраических чисел обозначим буквой .

Легко видеть, что любое рациональное число является алгебраическим. Действительно, --- корень уравнения qx-p=0 с целыми коэффициентами a1=q и a0=-p. Итак, .

Однако не все алгебраические числа рациональны: например, число является корнем уравнения x2-2=0, следовательно, --- алгебраическое число.

Долгое время оставался нерешенным важный для математики вопрос: Существуют ли неалгебраические действительные числа? Только в 1844 году Лиувилль1 впервые привел пример трансцендентного (т. е. неалгебраического) числа.

Построение этого числа и доказательство его трансцендентности очень сложны. Доказать теорему существования трансцендентных чисел можно значительно проще, используя соображения об эквивалентности и неэквивалентности числовых множеств.

А именно, докажем, что множество алгебраических чисел счетно. Тогда, поскольку множество всех действительных чисел несчетно, мы установим существование неалгебраических чисел.

Построим взаимно однозначное соответствие между и некоторым подмножеством . Это будет означать, что --- конечно либо счетно. Но поскольку , то бесконечно, и значит, счетно.

Пусть -- некоторое алгебраическое число. Рассмотрим все многочлены с целыми коэффициентами, корнем которых является , и выберем среди них многочлен P минимальной степени (т. е. не будет корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами меньшей степени).

Например, для рационального числа такой многочлен имеет степень 1, а для числа --- степень 2.

Разделим все коэффициенты многочлена P на их наибольший общий делитель. Получим многочлен, коэффициенты которого взаимно просты в совокупности (их наибольший общий делитель равен 1). Наконец, если старший коэффициент an отрицателен, умножим все коэффициенты многочлена на -1.

Полученный многочлен (т. е. многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число , имеющий минимально возможную степень, взаимно простые коэффициенты и положительный старший коэффициент) называется минимальным многочленом числа .

Можно доказать, что такой многочлен определяется однозначно: каждое алгебраическое число имеет ровно один минимальный многочлен.

Количество действительных корней многочлена не больше чем его степень. Значит, можно пронумеровать (например, по возрастанию) все корни такого многочлена.

Теперь всякое алгебраическое число полностью определяется своим минимальным многочленом (т. е. набором его коэффициентов) и номером, который отличает от других корней этого многочлена:

(a0,a1,...,an-1,an,k).

Итак, каждому алгебраическому числу мы поставили в соответствие конечный набор целых чисел, причем по этому набору восстанавливается однозначно (т. е. разным числам соответствуют разные наборы).

Пронумеруем в порядке возрастания все простые числа (нетрудно показать, что их бесконечно много). Получим бесконечную последовательность {pk}: p1=2, p2=3, p3=5, p4=7, ... Теперь набору целых чисел (a0,a1,...,an-1,an,k) можно поставить в соответствие произведение


(это число положительное и рациональное, но не всегда натуральное, ведь среди чисел a0, a1, ..., an-1, могут быть отрицательные). Заметим, что это число есть несократимая дробь, поскольку простые множители, входящие в разложения числителя и знаменателя, различны. Заметим также, что две несократимые дроби с положительными числителями и знаменателями равны тогда и только тогда, когда и их числители равны, и их знаменатели равны.

Рассмотрим теперь сквозное отображение:

(a0,a1,...,an-1,an,k)=

Поскольку разным алгебраическим числам мы поставили в соответствие разные наборы целых чисел, а разным наборам --- разные рациональные числа, то мы, таким образом, установили взаимно однозначное соответствие между множеством и некоторым подмножеством . Поэтому множество алгебраических чисел счетно.

Так как множество действительных чисел несчетно, то мы доказали существование неалгебраических чисел.

Однако теорема существования не указывает как определить, является ли данное число алгебраическим. А этот вопрос иногда является весьма важным для математики.

Квадратура круга

В 1882 году немецкий математик Линдеман2 доказал, что число трансцендентно. Из этого сразу следует невозможность решения одной из знаменитых задач древности.

Этих задач было три: об удвоении куба, о трисекции угла и о квадратуре круга. Их пытались решить еще математики Древней Греции.

Задача о квадратуре круга.На плоскости имеется круг. При помощи циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади этого круга.

Пусть круг имеет радиус 1, т. е. задан отрезок длины 1. Площадь этого круга равна , поэтому построение искомого квадрата сводится к построению отрезка длины .

Далее воспользуемся известным геометрическим фактом: если задан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить только такие отрезки, длины которых суть числа очень специального вида. А именно, эти числа могут быть получены из рациональных чисел с помощью операций извлечения квадратного корня, а также сложения и умножения.

Но все такие числа (это нетрудно доказать) являются алгебраическими, т. е. для каждого из них можно построить многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого оно является.

Поскольку число трансцендентно, то и трансцендентно. Поэтому построить отрезок длины при помощи циркуля и линейки невозможно.

Вы видите, как решение задачи теории чисел --- о трансцендентности числа --- влечет решение геометрической задачи. Это еще один яркий пример тесной связи между различными областями математики.

Формулировка проблемы

Седьмая проблема Гильберта формулируется следующим образом:

Пусть a --- положительное алгебраическое число, не равное 1, b --- иррациональное алгебраическое число. Доказать, что ab есть число трансцендентное.

В 1934 году советский математик Гельфонд3 и чуть позже немецкий математик Шнайдер4 доказали справедливость этого утверждения, и таким образом, эта проблема была решена.

Одна теорема существования

Когда-то, на заре своего существования, журнал "Квант" предложил своим читателям следующую задачу:

Пусть a и b --- иррациональные числа. Может ли число ab быть рациональным?

Конечно, с использованием седьмой проблемы Гильберта эту задачу решить нетрудно. В самом деле, число --- трансцендентное (поскольку --- алгебраическое иррациональное число). Но все рациональные числа являются алгебраическими, поэтому --- иррациональное. С другой стороны,

()=* =2=2.

Итак, мы просто предъявили такие числа: a=, b=. Однако эта задача может быть решена и без каких-либо ссылок на результат Гельфонда. Среди читателей нашелся школьник, который не знал, что такое седьмая проблема Гильберта, но прислал поразительно красивое решение. Он рассуждал так: "Рассмотрим число . Если это число рациональное, то задача решена, такие a и b найдены. Если же оно иррациональное, то возьмем a=, b=, и ab=()=2".

Итак, этот школьник предъявил две пары чисел a и b, таких что одна из этих пар удовлетворяет поставленному условию, но ему неизвестно, какая именно. Но ведь предъявить такую пару и не требовалось! Таким образом, это элегантное решение в некотором смысле представляет собой теорему существования.


1Жозеф Лиувилль (1809-1882) -- французский математик.

2Карл Луис Фердинанд Линдеман (1852-1939).

3Александр Осипович Гельфонд (1906-1968).

4Теодор Шнайдер (р. 1911).

Следующий раздел

На головную страницу