Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

И. В. Ященко Парадоксы теории множеств


1. Что такое множество?

Когда мы собираемся что-то изучать, возникает потребность очертить круг объектов, с которыми мы будем работать: например, "Возьмем всех учеников 9-го класса...", "Рассмотрим все вершины треугольника...", "Рассмотрим все буквы русского алфавита...".

Собственно, именно это множеством и называется: множество – это коллекция (совокупность ) объектов, определенная некоторым правилом *1. Можно представлять себе множества коробками, в которых лежат элементы.

*1 Хотя на самом деле никто толком и не знает, что такое множество.

Но такое на первый взгляд "безобидное" определение порождает некоторые проблемы. Рассмотрим слово

М Н О Ж Е С Т В О .

Что из себя представляет множество букв этого слова? Наверняка вы уже знаете, что множество записывают так: в фигурных скобках – список элементов, из которых это множество состоит. Итак, пишем:

{М, Н, О, Ж, Е, С, Т, В}.

Вот и возникла первая проблема: в русском алфавите одна буква О, а в слове МНОЖЕСТВО две. Почему вторую букву О писать не надо, можно объяснить, произнеся такое заклинание:

множество определяется своими элементами,

т. е. каждый элемент в множестве встречается только один раз. Теперь можно сказать, что вторая буква О не нужна, поскольку буква О в нашем множестве уже есть.

Но что делать, если нам все-таки нужны две буквы О? Например, мы играем в такую игру: составляем слова из букв слова МНОЖЕСТВО. Понятно, что если букву О можно использовать два раза, то мы составим больше слов. Значит, надо как-то различать эти две буквы О, например, назвать их О1 и О2. Тогда множество букв в слове МНОЖЕСТВО будет выглядеть так:
{М, Н, О1, Ж, Е, С, Т, В, О2}.
Теперь с точки зрения русского языка все в порядке: букв О две, и мы можем спокойно составлять слова с двумя буквами О. С точки зрения теории множеств тоже все хорошо: двух одинаковых элементов в одном множестве нет.

Итак, эту проблему мы решили.

Вторая, более серьезная проблема возникает из-за того, что нам хочется рассматривать большие и непонятно как определенные множества, вроде множества всех людей или множества всех деревьев, и в фигурных скобках не выписывать, например, список всех учеников школы, а просто писать
{все ученики школы}.
Но прежде чем рассказать об этой проблеме, обсудим одно замечательное множество.

На головную страницу