Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

И. В. Ященко Парадоксы теории множеств


10. Парадокс Банаха–Тарского

Парадокс был придуман в 1920-х годах двумя замечательными математиками Банахом и Тарским, которые для этого даже не встречались. Они обнаружили, что обычную сферу можно "разрезать" на несколько частей, из которых потом можно сложить две точно такие же сферы. Формально, конечно, речь идет о некотором отображении из множества точек одной сферы в объединение множеств точек двух сфер того же радиуса. Сразу оговорим, какие отображения имеются в виду.

Назовем отображение f: X ® Y допустимым, если существует разбиение X на непересекающиеся множества A1, A2,...,An, такие что ограничение f на каждое Ai есть изометрия (или движение) и для каждых i j множества f(Ai) и f(Aj) не пересекаются. В этом случае будем также говорить, что X и Y эквивалентны, или X ~ Y (убедитесь в том, что это действительно отношение эквивалентности). Парадокс Банаха–Тарского заключается в том, что существует допустимое отображение из сферы в объединение двух сфер того же радиуса. Некоторое время этот парадокс считали опровержением аксиомы выбора, используемой при его доказательстве, поскольку в него никто не верил. Потом осознали, что ничего страшного здесь нет. Кроме аксиомы выбора в доказательстве используются построение множества Витали, неизмеримого относительно произвольной "хорошей" меры, сдвиг натурального ряда (если к каждому натуральному числу прибавить 1, то получится тот же самый натуральный ряд и еще одна точка*17) и еще некоторые ниже сформулированные утверждения. Доказав их, мы перейдем к переклейке сферы на две, а потом и к переклейке шара.

*17 Ноль или один, в зависимости от идеологических убеждений граждан, то ли они считают, что ноль – натуральное число, то ли нет.

10.1. Две важные теоремы

Итак, первое вспомогательное утверждение.

Теорема 1. Если A М B М C и A ~ C, то A ~ B.

Примечательно, что формулировка этой теоремы почти в точности совпадает с формулировкой еще одного известного утверждения, называемого теоремой Кантора–Бернштейна:

если A М B М C и |A| = |C|, то |A| = |B|.

Эта теорема является одной из основных в теории множеств. У нее есть другая формулировка, тоже достаточно известная: если |A| Ј |B| и |B| Ј |A|, то |A| = |B| (мы пишем |X| Ј |Y|, или X Ј Y, если X равномощно некоторому подмножеству Y, это отношение называется " меньше либо равно по мощности"; таким образом, теорема Кантора–Бернштейна – это всего лишь утверждение, необходимое для доказательства корректности введенного отношения на множествах).

3. Докажите равносильность двух формулировок.

Доказывать теорему 1 и теорему Кантора–Бернштейна мы тоже будем одновременно.

Доказательство. Есть f: C ® A. Обозначим C за C0, B за B0, A за C1. Если f применить к B, то получим B1 – подмножество A или C1. Применяя так дальше f к получаемым множествам, приходим к следующей цепочке:
C0 Й B0 Й C1 Й B1 Й C2 Й B2 Й ... Й Z,
где Z – пересечение всех Ci или пересечение всех Bi. Заметим, что B и C (т. е. B0 и C0) можно разложить в объединение таких интересных множеств:
C
= (C0 \ B0)И(B0 \ C1)И(C1 \ B1)И...ИZ
(1)
B
= (B0 \ C1)И(C1 \ B1)И(B1 \ C2)И...ИZ
(2)
Поскольку C0 ~ C1 и B0 ~ B1, то C0 \ B0 ~ C1 \ B1, поскольку B0 ~ B1 и C1 ~ C2, то B0 \ C1 ~ B1 \ C2, и т. д. Значит, в каждой из цепочек (1) и (2) все четные куски эквивалентны друг другу и все нечетные куски эквивалентны друг другу. В доказательстве теоремы Кантора–Бернштейна здесь можно было бы остановиться: мы уже получили два множества, состоящие каждый из счетного числа множеств одного вида (C0 \ B0), из счетного числа множеств другого вида (B0 \ C1) и множества Z. Но для доказательства теоремы 1 нам нужно отображение, соответствующее разбиению множеств B и C на конечное число частей. Предъявим такое отображение. Пусть отображение h: C ® B на всех нечетных множествах из разбиения (1) совпадает с f, а на всех четных и на Z тождественное, т. е.
h(x) = м
п
п
н
п
п
о
f(x),
если x О
И
i
(Ci \ Bi),
x,
если x О Z И
И
i
(Bi \ Ci + 1).
Имеется в виду, что все четные множества в объединении образуют первое множество, а все нечетные – второе. Итого всего два множества.

Теперь разрежем сферу на две. Как уже обещалось, будем использовать сдвиг натурального ряда. Сначала покажем, почему сферу в некотором смысле можно считать счетным множеством, а потом объясним, что из этого получается.

10.2. Свободные группы

Рассмотрим два поворота j и y в пространстве, причем с разными осями, проходящими через центр сферы, да еще и такие, что один поворот не переводит ось другого в себя. Нужны такие ограничения для того, чтобы всевозможные композиции j и y, а также j - 1 и y - 1 образовывали свободную группу. Объясним, что это значит.

Некоторые, возможно, знают, что группа – это некоторое множество с формально введенной операцией (называемой иногда сложением, иногда умножением, иногда еще как-нибудь), удовлетворяющей нескольким аксиомам. Так вот, это все абстрактные сказки. На самом деле группа – это некоторое множество движений, замкнутое относительно операции композиции, содержащее тождественное и обратное к каждому движение. Для нас будет важен объект под названием свободная группа с двумя образующими. Рассмотрим алфавит из букв j, y, j - 1 и y - 1. Будем писать конечные слова, состоящие из таких букв. При этом договоримся сокращать буквосочетания jj - 1, j - 1j, yy - 1 и y - 1y. Операцию между этими словами ввести просто: будем приписывать одно слово к другому. Свободной группа называется потому, что она не ограничена никакими соотношениями, т. е. никакое нетривиальное слово не приравнено к пустому. Именно для того, чтобы группа G = бj, yс (группа, порожденная поворотами j и y) была свободной, нужны различные условия на j и y (кроме перечисленных выше есть еще условия, например, j и y не могут быть поворотами на угол q · 2p, где q – рациональное число; подробно на всех условиях останавливаться не будем).

Рис. 7
Вернемся к нашим поворотам. Как только мы зафиксировали повороты j и y, у нас тут же появилось действие свободной группы на сфере. Что это значит? Каждому элементу группы G соответствует некоторое отображение fg сферы на себя. Нужно просто взять в качестве fg соответствующую композицию поворотов j и y. Поскольку группа G – свободная, никакое fg при g – непустом слове – не является тождественным.

Рассмотрим некоторую точку x на сфере. На этой сфере действует свободная группа с двумя образующими. Различные элементы этой группы действуют на сфере, сдвигая x. Всевозможные образы x при этих сдвигах образуют орбиту точки x относительно группы G. Схематично она изображена на рис. 7. Несмотря на то, что группа G – свободная, на некоторые точки она все равно действует "плохо", а именно, такие, которые какой-то композицией j, y, j - 1 и y - 1 переводятся на ось поворотов j или y. У этих "плохих" точек орбита вырождена, некоторые ветви у нее отсутствуют по сравнению с орбитой "хорошей" точки, у которой из каждой точки выходит по четыре ветви. Заметим, что плохих точек достаточно мало – это точки, содержащиеся в орбитах точек пересечения осей поворотов j и y со сферой. Все остальные точки разбиваются на орбиты "хороших" точек, являющихся копиями группы G.

Поняв, как устроена свободная группа и орбиты "хороших" точек под действием этой группы, усложним ее, пытаясь тем самым сразу добиться не очень большого количества частей при разбиении сферы. В качестве образующих поворотов возьмем j и y, удовлетворяющие соотношениям j2 = 1, y3 = 1 (т. е. j – поворот на 180°, y – поворот на 120°). Нарисуем орбиту точки x на сфере.

Как видно из схемы орбиты точки x (рис. 8), наша новая группа совсем не такая свободная, как была. В ней появились циклы. Как мы помним, это усложнение позволит уменьшить количество частей, на которые мы разбиваем сферу.

Разобьем ее на три равные части A, B и C, так что A ~ B ИC и A ~ B ~ C. Более того, будут выполняться равенства
м
п
н
п
о
j(A) = B ИC,
y(A) = B,
y2(A) = C.
(3)

Будем разбивать множества по индукции. Пусть x – некоторая "хорошая" точка, начало своей орбиты. Отправим ее
Рис. 8
в множество A. Точки jx и yx отправим в B, а точку y2x – в C. Далее будем разбивать на множества по индукции с помощью табл. 3.

Таблица 3
a О Aa О Ba О C
a начинается на yja О Bja О Aja О A
a начинается на jya О Bya О Cya О A
y2a О Cy2a О Ay2a О B

Рис. 9

Объясним, как пользоваться этой таблицей. Пусть a принадлежит орбите точки x. Тогда точку a можно формально представить в виде gx, где g – некоторое слово из букв j, y и y2. Предположим, что a начинается на букву y. Тогда среди следующих образов осмысленно рассматривать только ja, так как остальные получались на предыдущих шагах и уже были отправлены в какие-то множества. Из таблицы видно, куда отправить ja в зависимости от того, где находится сама точка a. Если a О A, то ja О B, если a О B, то ja О A, если a О C, то ja О A. На рис. 9 можно увидеть, в какие множества попадают первые несколько элементов орбиты точки x.

Предлагаем убедиться самостоятельно, что, во-первых, разложение орбиты точки x на A, B и C в соответствии с представленной таблицей действительно существует, а во-вторых, оно удовлетворяет соотношениям (3).

Итак, мы разбили сферу (обозначим множество ее точек за S) на четыре множества A, B, C и Q1 (где Q1 – множество " плохих" точек, т. е. точек, лежащих в орбитах точек пересечения осей поворотов j и y со сферой), причем A ~ B ИC и A ~ B ~ C. Заметим, что Q1 – счетное множество. Значит, существует поворот (не равный j и y), переводящий Q1 в такое множество Q2, что Q1 ЗQ2 = Ж, т. е. Q2 М A ИB ИC (действительно, всего поворотов, переводящих i-ю точку в себя, счетное количество, значит, всего поворотов, переводящих хоть какую-нибудь точку из Q1 в себя, тоже счетное количество, значит, среди континуума поворотов сферы найдется нужный поворот). Поскольку B ИC ~ A ~ C, можно считать, что Q2 М C. Сфера разбивается в объединение S = A ИB ИC ИQ1, которое можно записать так:
S = (A ИQ1)И(B ИQ2)И(C \ Q2).
Далее,
A ИQ1 ~ B ИC ИQ1 ~ A ИC ИQ1 ~ B ИC ИA ИQ1 ~ S,
аналогично B ИQ2 ~ A ИQ1 ~ S. Таким образом, из сферы S мы получили две сферы S плюс образ множества C \ Q2. Поэтому по теореме 1 мы можем из одной сферы получить две.

Попробуем теперь из одного шара (обозначим множество его точек за D) получить два таких же с помощью допустимых преобразований. Шар D естественным образом разбивается на центр (обозначим его за O) и на объединение сфер с центром в O. Введем на самой большой сфере конструкцию из четырех множеств, которой мы только что пользовались при переклейке сферы. При помощи гомотетии с центром в O продолжим эти множества на все сферы. Ясно, что поскольку мы умеем переклеивать сферу на две, то мы сможем переклеивать шар без центра на два шара без центров, а значит, и на три шара без центров. Значит, шар с центром можно переклеить на три шара, один из которых будет с центром. Возьмем точку из третьего шара и переведем ее в центр второго шара. Значит, из шара мы умеем получать два полноценных шара и еще какие-то точки. Поэтому по теореме 1 мы можем получить из шара два таких же.

Таким образом, мы убедились в возможности разрезать шар на конечное число частей и получить из них два шара того же размера. Немного изменив наши рассуждения, можно доказать, что на самом деле из шара можно получить два шара, но совершенно произвольного размера. Таким образом, в завершение темы мы приходим к одной очень интересной теореме.

Теорема. Если два множества A и B в пространстве ограничены и имеют внутренние точки, то A ~ B.

Доказательство. Множество A ограничено, т. е. содержится в некотором шаре C1. Кроме того, A имеет хотя бы одну внутреннюю точку, т. е. содержит в себе некоторый шар D1. Аналогично определим шары C2 и D2, так что C2 Й B Й D2. Согласно сказанному выше, отождествим C1 и D1. Тогда C1 Й A Й D1 ~ C1, следовательно, по теореме 1 получаем, что A ~ C1. Аналогично B ~ C2, но C1 ~ C2, поэтому A ~ B.

На головную страницу