Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

И. В. Ященко Парадоксы теории множеств


12. Множества на прямой

Многим, должно быть, известны множества на прямой, имеющие меру ноль. Однако существуют еще "меньшие" множества, про которые говорят, что они имеют строгую меру ноль.

Определение. Говорят, что множество M имеет строгую меру ноль, если для любой последовательности положительных чисел (an) существует последовательность интервалов (In), покрывающая M, такая что длина интервала Ik равна ak.

Понятно, что любое счетное множество имеет строгую меру ноль. Действительно, пронумеруем это множество натуральными числами и точку с номером k покроем интервалом длины ak. Интересно было бы построить хотя бы одно несчетное множество строгой меры ноль. Попробуем это сделать, заодно покажем, как применяется континуум-гипотеза в содержательных задачах.

Как всегда, когда у нас не получается что-то построить, нужно пытаться строить нечто большее.

Определение. Будем говорить, что множество A сосредоточено на рациональных числах, если для любого открытого множества U, содержащего Q, множество A \ U не более чем счетно.

Очевидно, что любое сосредоточенное на Q множество имеет строгую меру ноль. Действительно, составим множество U, покрывающее Q, из интервалов I2n с длинами a2n. Оставшееся счетное множество покроем интервалами I2n - 1 с длинами a2n - 1.

Теперь еще больше усложним множество, чтобы легче было строить.

Определение. Множеством Бернштейна называется множество, пересекающееся с каждым замкнутым нигде не плотным множеством по счетному числу точек.

Очевидно, что M – множество Бернштейна – сосредоточено на Q. Действительно, пусть U – открытое множество, покрывающее Q. Тогда [`U] = Z \ U замкнуто, так как его дополнение открыто, и нигде не плотно, так как в любом интервале найдется рациональная точка, в свою очередь содержащаяся вместе с каким-то интервалом в U. Значит, [`U] ЗM (или M \ U) счетно.

Множество Бернштейна довольно "крутое". Его уже несложно построить.

Сколько всего замкнутых множеств? Континуум. Действительно, открытое множество можно представить в виде объединения интервалов с рациональными концами (см. приложение 1), а замкнутое – это дополнение к открытому. А теперь пересчитаем все замкнутые нигде не плотные множества. Пусть {Fa: a < 2w} – минимальный пересчет всех замкнутых нигде не плотных. Это значит, что индексами a из некоторого множества мощности не больше континуума мы занумеровали замкнутые нигде не плотные множества Fa.

Возьмем какое-нибудь счетное A1, не пересекающееся с F1. Потом возьмем счетное A2, не пересекающееся с F1ИF2. Далее, действуя по индукции, построим Ab, которое не пересекается с

И
i Ј b
Fi.
Докажем, что построение можно осуществить и что полученное множество
A =
И
i О 2w
Ai
есть множество Бернштейна мощности континуум. Действительно, поскольку пересчет {Fa} минимален, любой левый луч из множеств Fa с концом в Fb меньше континуума, а значит, в предположении континуум-гипотезы не более чем счетен. Как утверждает теорема Бэра (см. приложение 2), отрезок нельзя покрыть объединением счетного числа замкнутых нигде не плотных множеств, поэтому действительно найдется счетное Ab, не пересекающееся с Иi Ј b Fi (просто разобъем прямую на счетное число отрезков и из каждого возьмем по непокрытой благодоря теореме Бэра точке). Множество A имеет мощность континуум, так как все Ai непусты, а их суммирование идет по i О 2w. Кроме того, A может пересекаться с произвольным множеством Fb только по множествам Aa, где a < b, т. е. по счетному (опять же, из-за минимальности пересчета и в предположении континуум-гипотезы) объединению счетных множеств. Значит, A действительно является множеством Бернштейна.

12.1. Игры Банаха–Мазура и аксиома детерминированности

Когда двум математикам Банаху и Мазуру стало скучно*20, они стали играть в такую игру. Они определили для себя некоторое множество A на отрезке [0, 1]. После этого Банах взял какой-то отрезок, Мазур внутри этого отрезка еще отрезок, потом Банах взял еще отрезок и т. д. При этом они сразу договорились, что длина отрезков будет стремиться к нулю и в пересечении поэтому будет получаться точка. Так вот, если эта точка содержится в A, то выиграл первый игрок, а если не содержится, то выиграл второй*21.

*20 У них, наверное, не было теннисных ракеток и шахмат.

*21 Можете на досуге поиграть. Только играть нужно с шахматными часами и ходы делать быстро.

Легко понять, что если A счетно, то у второго есть выигрышная стратегия. Он может за первый свой ход избавиться от первой точки, взяв отрезок, не содержащий ее, за второй ход – от второй, и т. д. Если A нигде не плотно, то второй может выиграть вообще за один ход. Первым же ходом нужно просто взять отрезок, не пересекающийся с A (таких существует огромное количество, просто по определению). Если A – счетное объединение нигде не плотных (такие множества Бэр называл множествами первой категории ), то второй также может выиграть: на первом шаге он избавляется от первого нигде не плотного, на втором – от второго, и т. д.

Банах с Мазуром задумались, для любого ли A у одного из игроков есть выигрышная стратегия. Это вполне естественное утверждение: либо для любого хода первого есть такой ход второго, что для любого хода первого есть такой ход второго, что... и т. д., либо существует ход первого, такой что для любого хода второго существует ход первого, такой что для любого хода второго существует ход первого... и т. д.

Множество A называется детерминированным, если для него у одного из игроков есть выигрышная стратегия. Утверждение о том, что все A М [0, 1] детерминированны, называется аксиомой детерминированности.

С ней проблема даже не в том, что ее не умеют доказывать. В отличие от аксиомы выбора еще даже неизвестно, действительно ли она непротиворечива с аксиоматикой Цермело–Френкеля. Зато известно, что из аксиомы выбора мгновенно следует отрицание аксиомы детерминированности, но из аксиомы детерминированности следует аксиома выбора для счетного числа множеств (благодаря чему у нас сохраняется весь математический анализ).

Если принять аксиому детерминированности, можно получить много интересных и удивительных фактов:

1) все множества из [0, 1] измеримы по Лебегу;

2) любая ограниченная функция интегрируема по Лебегу;

3) нет свободных максимальных идеалов;

4) базис есть только в счетномерных линейных пространствах.

Общая идея аксиомы детерминированности в том, что объект существует, только если его можно построить "руками", взять и объяснить, как его строить. А если не получается объяснить, то объект не существует вовсе.

Подробнее об аксиоме выбора и аксиоме детерминированности см. книгу [2].

На головную страницу