Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

И. В. Ященко Парадоксы теории множеств


Открытые и замкнутые множества

Приложение 1. Открытые и замкнутые множества

Множество M на прямой называется открытым, если каждая его точка сожержится в этом множестве вместе с некоторым интервалом. Замкнутым называется множество, содержащее все свои предельные точки (т. е. такие, что любой интервал, содержащий эту точку, пересекается со множеством еще хотя бы по одной точке). Например, отрезок является замкнутым множеством, но не является открытым, а интервал, наоборот, является открытым множеством, но не является замкнутым. Бывают множества, которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми (например, полуинтервал). Существуют два множества, которые одновременно и замкнутые, и открытые – это пустое и все Z (докажите, что других нет). Легко видеть, что если M открыто, то [`M] (или Z \ M – дополнение к множеству M до Z) замкнуто. Действительно, если [`M] не замкнуто, то оно не содержит какую-то свою предельную точку m. Но тогда m О M, причем каждый интервал, содержащий m, пересекается с множеством [`M], т. е. имеет точку, не лежащую в M, а это противоречит тому, что M – открытое. Аналогично, тоже прямо из определения, доказывается, что если M замкнуто, то [`M] открыто (проверьте!).

Теперь докажем следующую важную теорему.

Теорема. Любое открытое множество M можно представить в виде объединения интервалов с рациональными концами (т. е. с концами в рациональных точках).

Доказательство. Рассмотрим объединение U всех интервалов с рациональными концами, являющихся подмножествами нашего множества. Докажем, что это объединение совпадает со всем множеством. Действительно, если m – какая-то точка из M, то существует интервал (m1, m2) М M, содержащий m (это следует из того, что M – открытое). На любом интервале можно найти рациональную точку. Пусть на (m1, m) – это m3, на (m, m2) – это m4. Тогда точка m покрыта объединением U, а именно, интервалом (m3, m4). Таким образом, мы доказали, что каждая точка m из M покрыта объединением U. Кроме того, как очевидно следует из построения U, никакая точка, не содержащаяся в M, не покрыта U. Значит, U и M совпадают.

Важным следствием из этой теоремы является тот факт, что любое открытое множество есть счетное объединение интервалов.

Нигде не~плотные множества и~множества меры~ноль. Канторово множество>

Приложение 2. Нигде не плотные множества и множества меры ноль. Канторово множество

Множество A называется нигде не плотным, если для любых различных точек a и b найдется отрезок [c, d] М [a, b], не пересекающийся с A. Например, множество точек последовательности an = [ 1/(n)] является нигде не плотным, а множество рациональных чисел – нет.

Теорема Бэра. Отрезок нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

Доказательство. Предположим, что существует последовательность Ak нигде не плотных множеств, таких что Иi Ai = [a, b]. Построим следующую последовательность отрезков. Пусть I1 – какой-нибудь отрезок, вложенный в [a, b] и не пересекающийся с A1. По определению нигде не плотного множества на отрезке I1 найдется отрезок, не пересекающийся с множеством A2. Назовем его I2. Далее, на отрезке I2 возьмем аналогичным образом отрезок I3, не пересекающийся с A3, и т. д. У последовательности Ik вложенных отрезков есть общая точка (это одно из основных свойств действительных чисел). Эта точка по построению не лежит ни в одном из множеств Ak, значит, эти множества не покрывают весь отрезок [a, b].

Назовем множество M имеющим меру ноль, если для любого положительного e найдется последовательность Ik интервалов с суммарной длиной меньше e, покрывающая M8. Очевидно, что любое счетное множество имеет меру ноль. Однако бывают и несчетные множества, имеющие меру ноль. Построим одно такое, очень известное, называемое канторовым.

Рис. 11

Возьмем отрезок [0, 1]. Поделим его на три равные части. Средний отрезок выкинем (рис. 11, а ). Останется два отрезка суммарной длины [ 2/3]. С каждым из них проделаем точно такую же операцию (рис. 11, б ). Останется четыре отрезка суммарной длины [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B2. Продолжая так далее (рис. 11, в е ) до бесконечности, получаем множество, которое имеет меру меньше любой наперед заданной положительной, т. е. меру ноль. Можно установить взаимно однозначное соответствие между точками этого множества и бесконечными последовательностями нулей и единиц. Если при первом "выкидывании" наша точка попала в правый отрезок, поставим в начале последовательности 1, если в левый – 0 (рис. 11, а ). Далее, после первого "выкидывания", получаем маленькую копию большого отрезка, с которой поступаем точно так же: если наша точка после выкидывания попала в правый отрезок, поставим 1, если в левый – 0, и т. д. (проверьте взаимную однозначность), рис. 11, б , в . Поскольку множество последовательностей нулей и единиц имеет мощность континуум, канторово множество также имеет мощность континуум. Кроме того, несложно доказать, что оно нигде не плотно. Однако неверно, что оно имеет строгую меру ноль (см. определение строгой меры). Идея доказательства этого факта в следующем: возьмем последовательность an, очень быстро стремящуюся к нулю. Для этого подойдет, например, последовательность an = [ 1/(22n)]. После чего докажем, что этой последовательностью нельзя покрыть канторово множество (проделайте это!).

Приложение 3. Задачи9

Операции над множествами

Множества A и B называются равными, если каждый элемент множества A принадлежит множеству B, и наоборот. Обозначение: A = B.

Множество A называется подмножеством множества B, если каждый элемент множества A принадлежит множеству B. Обозначение: A М B.

1. Для каждых двух из следующих множеств указать, является ли одно из них подмножеством другого:
{1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {3,2,1}, {{2,1}}.

2. Докажите, что множество A тогда и только тогда является подмножеством множества B, когда каждый элемент, не принадлежащий B, не принадлежит A.

3. Докажите, что для произвольных множеств A, B и C

а) A М A; б) если A М B и B М C, то A М C;

в) A = B, если и только если A М B и B М A.

Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначение: Ж.

4. Сколько элементов у каждого из следующих множеств:
Ж, {1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {Ж}, {{2,1}}?

5. Сколько подмножеств у множества из трех элементов?

6. Может ли у множества быть ровно а) 0; б*) 7; в) 16 подмножеств?

Объединением множеств A и B называется множество, состоящее из таких x, что x О A или x О B. Обозначение: AИB.

Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из таких x, что x О A и x О B. Обозначение: AЗB.

Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из таких x, что x О A и x П B. Обозначение: A \ B.

7. Даны множества A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D = {0,7,23,1998}. Найдите множества:

а) AИB; б) AЗB; в) (AЗB)ИD;
г) CЗ(DЗB); д) (AИB)З(CИD); е) (AИ(BЗC))ЗD;
ж) (CЗA)И((AИ(CЗD))ЗB); з) (AИB) \ (CЗD); и) A \ (B \ (C \ D));
к) ((A \ (BИD)) \ C)ИB.

8. Пусть A – множество четных чисел, а B – множество чисел, делящихся на 3. Найдите A ЗB.

9. Докажите, что для любых множеств A, B, C

а) AИB = BИA, AЗB = BЗA;

б) AИ(BИC) = (AИB)ИC, AЗ(BЗC) = (AЗB)ЗC;

в) AЗ(BИC) = (AЗB)И(AЗC), AИ(BЗC) = (AИB)З(AИC);

г) A \ (BИC) = (A \ B)З(A \ C), A \ (BЗC) = (A \ B)И(A \ C).

10. Верно ли, что для любых множеств A, B, C

а) AЗЖ = Ж, AИЖ = A; б) AИA = A, AЗA = A; в) AЗB = A Ы A М B;
г) (A \ B)ИB = A; 7 д) A \ (A \ B) = AЗB; е) A \ (B \ C) = (A \ B)И(AЗC);
ж) (A \ B)И(B \ A) = AИB?

Отображения множеств

Если каждому элементу x множества X поставлен в соотвествие ровно один элемент f(x) множества Y, то говорят, что задано отображение f из множества X в множество Y. При этом, если f(x) = y, то элемент y называется образом элемента x при отображении f, а элемент x называется прообразом элемента y при отображении f. Обозначение: f: X ® Y.

11. Нарисуйте всевозможные отображения из множества {7,8,9} в множество {0,1}.

Пусть f: X ® Y, y О Y, A М X, B М Y. Полным прообразом элемента y при отображении f называется множество {x О X | f(x) = y}. Обозначение: f - 1(y). Образом множества A М X при отображении f называется множество {f(x) | x О A}. Обозначение: f(A). Прообразом множества B М Y называется множество {x О X | f(x) О B}. Обозначение: f - 1(B).

12. Для отображения f: {0,1,3,4} ® {2,5,7,18}, заданного картинкой, найдите f({0,3}), f({1,3,4}), f - 1(2), f - 1({2,5}), f - 1({5,18}).

а) б) в)

13. Пусть f: X ® Y, A1, A2 М X, B1, B2 М Y. Всегда ли верно, что

а) f(X) = Y;

б) f - 1(Y) = X;

в) f(A1ИA2) = f(A1)Иf(A2);

г) f(A1ЗA2) = f(A1)Зf(A2);

д) f - 1(B1И B2) = f - 1(B1)И f - 1(B2);

е) f - 1(B1ЗB2) = f - 1(B1)Зf - 1(B2);

ж) если f(A1) М f(A2), то A1 М A2;

з) если f - 1(B1) М f - 1(B2), то B1 М B2?

Композицией отображений f: X ® Y и g: Y ® Z называется отображение, сопоставляющее элементу x множества X элемент g(f(x)) множества Z. Обозначение: g°f.

14. Докажите, что для произвольных отображений f: X ® Y, g: Y ® Z и h: Z ® W выполняется следующее: h°(g°f) = (h°g)°f.

15. Пусть f: {1,2,3,5} ® {0,1,2}, g: {0,1,2} ® {3,7,37,137}, h: {3,7,37,137} ® {1,2,3,5}– отображения, показанные на рисунке:

f: g: h:

Нарисуйте картинки для следующих отображений:

а) g°f; б) h°g; в) f°h°g; г) g°h°f.

Отображение f: X ® Y называется биективным, если для каждого y О Y найдется ровно один x О X такой, что f(x) = y.

16. Пусть f: X ® Y, g: Y ® Z. Верно ли, что если f и g биективны, то и g°f биективно?

17. Пусть f: {1,2,3} ® {1,2,3}, g: {1,2,3} ® {1,2,3}, – отображения, изображенные на рисунке:

f: g:

Нарисуйте картинки для следующих отображений:

а) g°f°g; б) f°g°f; в) f°g°f°g°f°g.

18. Про каждые два из следующих множеств выясните, существует ли биекция из первого во второе (надлежит считать, что ноль – натуральное число):

а) множество натуральных чисел;

б) множество четных натуральных чисел;

в) множество натуральных чисел без числа 3.

Метрические пространства и непрерывные отображения

Метрическим пространством называется множетсво X с заданной метрикой r: X×X ® Z, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1)
" x,y О X r(x,y) і 0, причем r(x,y) = 0, если и только если x = y (неотрицательность);
2)
" x,y О X r(x,y) = r(y,x) (симметричность);
3)
" x,y,z О X r(x,y) + r(y,z) і r(x,z) (неравенство треугольника).
19 19. Докажите, что следующие пары (X,r) являются метрическими пространствами:

а) X = Z, r(x,y) = |x - y|;

б) X = Z2, r2((x1,y1),(x2,y2)) = Ц{(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2};

в) X = C[a,b] – множество непрерывных на [a,b] функций,
r(f,g) =
sup
x О [a,b]
|f(x) - g(x)|;

г) X = S1 – окружность с центром O, r(x,y) – величина центрального угла xOy;

д) X – множестов движений плоскости,
r(f,g) =
max
x О D
r2(f(x),g(x)),
где D – круг единичного радиуса с центром в начале координат.

Открытым (соответственно, замкнутым ) шаром радиуса r в пространстве X с центром в точке x называется множество Ur(x) = {y О x: r(x,y) < r} (соответственно, Br(x) = {y О X: r(x,y) Ј r}).

Внутренней точкой множества U М X называется такая точка, которая содержится в U вместе с некоторым шаром ненулевого радиуса.

Множество, все точки которого внутренние, называется открытым. Открытое множество, содержащее данную точку, называется окрестностью этой точки.

Предельной точкой множества F М X называется такая точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много точек множества F.

Множество, которое содержит все свои предельные точки, называется замкнутым (сравните это определение с тем, которое было дано в приложении 1).

20. Докажите, что

а) множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто;

б) конечное объединение и счетное пересечение замкнутых множеств замкнуто;

в) счетное объединение и конечное пересечение открытых множеств открыто.

21. Докажите, что

а) множество предельных точек любого множества является замкнутым множеством;

б) объединение множества A и множества его предельных точек ( замыкание A) является замкнутым множеством.

Отображение f: X ® Y называется непрерывным, если прообраз каждого открытого множества открыт.

22. Докажите, что это определение согласуется с определением непрерывности функций на прямой.

23. Докажите, что

а) расстояние до множества rF(x) = infy О Fr(x,y) является непрерывной функцией;

б) множество нулей функции пункта а) совпадает с замыканием F.

24. Пусть f: X ® Y – непрерывное взаимно однозначное отображение. Верно ли, что обратное к нему непрерывно?

Непрерывное взаимно однозначное отображение f: X ® Y, обратное к которому также непрерывно, называется гомеоморфизмом. Пространства X, Y, для которых такое отображение существует, называются гомеоморфными.

25. Для каждой пары из следующих множеств установите, гомеоморфны ли они:

а) прямая; б) отрезок; в) окружность;
г) буква Т; д) буква Ы; е) круг;
ж) плоскость; з) граница квадрата;
и) плоскость без начала координат.

26. Для каких пар X, Y пространств из предыдущей задачи существует непрерывное отображение f: X ® Y, которое не склеивает точки (т. е. f(x) f(y) при x y – такие отображения называют вложениями )?

27*. Придумайте непрерывное отображение плоскости на тор, которое было бы локальным гомеоморфизмом (т. е. у каждой точки x плоскости и f(x) тора существуют такие окрестности U и V, что f гомеоморфно отображает U на V).

Метрические пространства и непрерывные отображения

Метрическим пространством называется множетсво X с заданной метрикой r: X×X ® Z, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1)
" x,y О X r(x,y) і 0, причем r(x,y) = 0, если и только если x = y (неотрицательность);
2)
" x,y О X r(x,y) = r(y,x) (симметричность);
3)
" x,y,z О X r(x,y) + r(y,z) і r(x,z) (неравенство треугольника).
28. Докажите, что следующие пары (X,r) являются метрическими пространствами:

а) X = Z, r(x,y) = |x - y|;

б) X = Z2, r2((x1,y1),(x2,y2)) = Ц{(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2};

в) X = C[a,b] – множество непрерывных на [a,b] функций,
r(f,g) =
sup
x О [a,b]
|f(x) - g(x)|;

г) X = S1 – окружность с центром O, r(x,y) – величина центрального угла xOy;

д) X – множестов движений плоскости,
r(f,g) =
max
x О D
r2(f(x),g(x)),
где D – круг единичного радиуса с центром в начале координат.

Открытым (соответственно, замкнутым ) шаром радиуса r в пространстве X с центром в точке x называется множество Ur(x) = {y О x: r(x,y) < r} (соответственно, Br(x) = {y О X: r(x,y) Ј r}).

Внутренней точкой множества U М X называется такая точка, которая содержится в U вместе с некоторым шаром ненулевого радиуса.

Множество, все точки которого внутренние, называется открытым. Открытое множество, содержащее данную точку, называется окрестностью этой точки.

Предельной точкой множества F М X называется такая точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много точек множества F.

Множество, которое содержит все свои предельные точки, называется замкнутым (сравните это определение с тем, которое было дано в приложении 1).

29. Докажите, что

а) множество открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто;

б) конечное объединение и счетное пересечение замкнутых множеств замкнуто;

в) счетное объединение и конечное пересечение открытых множеств открыто.

30. Докажите, что

а) множество предельных точек любого множества является замкнутым множеством;

б) объединение множества A и множества его предельных точек ( замыкание A) является замкнутым множеством.

Отображение f: X ® Y называется непрерывным, если прообраз каждого открытого множества открыт.

31. Докажите, что это определение согласуется с определением непрерывности функций на прямой.

32. Докажите, что

а) расстояние до множества rF(x) = infy О Fr(x,y) является непрерывной функцией;

б) множество нулей функции пункта а) совпадает с замыканием F.

33. Пусть f: X ® Y – непрерывное взаимно однозначное отображение. Верно ли, что обратное к нему непрерывно?

Непрерывное взаимно однозначное отображение f: X ® Y, обратное к которому также непрерывно, называется гомеоморфизмом. Пространства X, Y, для которых такое отображение существует, называются гомеоморфными.

34. Для каждой пары из следующих множеств установите, гомеоморфны ли они:

а) прямая; б) отрезок; в) окружность;
г) буква Т; д) буква Ы; е) круг;
ж) плоскость; з) граница квадрата;
и) плоскость без начала координат.

35. Для каких пар X, Y пространств из предыдущей задачи существует непрерывное отображение f: X ® Y, которое не склеивает точки (т. е. f(x) f(y) при x y – такие отображения называют вложениями )?

36*. Придумайте непрерывное отображение плоскости на тор, которое было бы локальным гомеоморфизмом (т. е. у каждой точки x плоскости и f(x) тора существуют такие окрестности U и V, что f гомеоморфно отображает U на V).

Полнота. Теорема Бэра

Пусть X – метрическое пространство. Последовательность xn его элементов называется фундаментальной, если
" e > 0 $ n " k,m > n r(xk,xm) < e.

37. Докажите, что сходящаяся последовательность фундаментальна. Верно ли обратное утверждение?

Метрическое пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность в нем сходится.

38. Верно ли, что пространство, гомеоморфное полному, полно?

39. Докажите, что замкнутое подпространство полного пространства само полно; полное подпространство произвольного пространства замкнуто в нем.

40. Докажите, что в полном метрическом пространстве последовательность вложенных замкнутых шаров с радиусами, стремящимися к нулю, имеет общий элемент.

41. Можно ли в предыдущей задаче убрать условие полноты пространства или стремления к нулю радиусов шаров?

Отображение f метрического пространства X в себя называется сжимающим, если
$ c (0 Ј c < 1): " x,y О X r(f(x),f(y)) < cr(x,y).

42. Докажите, что сжимающее отображение непрерывно.

43. а) Докажите, что сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет ровно одну неподвижную точку.

б) На карту России масштаба 1:5 000 000 положили карту России масштаба 1:20 000 000. Докажите, что найдется точка, изображения которой на обеих картах совпадут.

44*. Существует ли неполное метрическое пространство, в котором верно утверждение задачи 15, а?

Подмножество метрического пространства называется всюду плотным, если его замыкание совпадает со всем пространством; нигде не плотным – если его замыкание не имеет непустых открытых подмножеств (сравните это определение с тем, которое было дано в приложениие 2).

45. а) Пусть a, b, a, b О Z и a < a < b < b. Докажите, что множество непрерывных функций на [a,b], монотонных на [a,b], нигде не плотно в пространстве всех непрерывных функций на [a,b] c равномерной метрикой.

б) Пусть a, b, c, e О Z и a < b, c > 0, e > 0. Тогда множество непрерывных функций на [a,b], таких что
$ x О [a,b]: " y (0 < |x - y| < e) Ю |f(x) - f(y)|

|x - y|
Ј c,
нигде не плотно в пространстве всех непрерывных функций на [a,b] c равномерной метрикой.

46. (Обобщенная теорема Бэра.) Докажите, что полное метрическое пространство нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств.

47. Докажите, что множество непрерывных, не монотонных ни на каком непустом интервале и нигде не дифференцируемых функций, определенных на отрезке [0,1], всюду плотно в пространстве всех непрерывных функций на [0,1] с равномерной метрикой.

48*. Пусть f – дифференцируемая функция на отрезке [0,1]. Докажите, что ее производная непрерывна на всюду плотном множестве точек.


8 Это определение лебеговой меры ноль. Если счетное число интервалов заменить на конечное, то получится определение жордановой меры ноль.

9 Набор задач этого раздела взят из листков, предлагавшихся учащимся выпуска 2002 года школы № 57 г. Москвы в 8-м, 10-м и 11-м классах.

На головную страницу