Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

И. В. Ященко Парадоксы теории множеств


2. Пустое множество

Что значит, что множество A является подмножеством множества B? Это значит, что все элементы множества A принадлежат и множеству B. Если представлять себе множества в виде коробок, то множество B – это большая коробка, а множество A – коробка поменьше, в которой лежат некоторые из элементов, лежащих в коробке B. Обозначение: A М B.

Например, множество всех четных чисел является подмножеством множества всех целых чисел, а множество {0,1,2} – подмножеством множества {0,1,2,3}.

Рассмотрим два множества:
{все летающие крокодилы} и {все участники олимпиады}.

Является ли одно из них подмножеством другого?

Как вообще доказать, что A М B? Можно проверить, что любой элемент a множества A лежит в B. А можно применить метод от противного*2: если A не является подмножеством B, то найдется элемент a О A, такой что a П B, а если такого a нет, то A М B.

*2 Противного, мерзкого, гадкого...

Но можно ли найти летающего крокодила, не участвующего в олимпиаде? Да где вообще найдешь летающего крокодила... Поэтому
{все летающие крокодилы} М {все участники олимпиады}*3.

*3 Что же получается: все летающие крокодилы участвуют в олимпиаде?

Множество летающих крокодилов – это пустое множество: в нем нет элементов. Это множество настолько важное, что для него даже придумали особый символ: Ж *4. Символ для пустого множества только один, потому что пустое множество единственно. В самом деле, предположим, что существуют два разных пустых множества. Но что значит, что множества разные? Это значит, что в одном из них найдется элемент, который не принадлежит другому. Но в пустых множествах вообще элементов нет!

*4 А программисты стащили этот символ и используют для обозначения нуля.

Итак, мы доказали, что пустое множество единственно и является подмножеством любого другого множества.

На головную страницу