Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

И. В. Ященко Парадоксы теории множеств


3. Парадокс брадобрея

Это довольно известная история, и у нее есть много версий.

"To shave or not to shave…"
Брадобрей, буриданов Гамлет В одном полку жил-был полковой парикмахер, которого по историческим причинам называют брадобреем. Однажды командир приказал ему брить тех и только тех, кто не бреется сам*5. Брадобрей, получив приказ, сначала обрадовался, потому что многие солдаты умели бриться сами, побрил тех, кто бриться сам не умел, а потом сел на пенек и задумался: а что ему с собой-то делать? Ведь если он будет брить себя, то нарушит приказ командира не брить тех, кто бреется сам. Брадобрей уже решил было, что брить себя не будет. Но тут его осенила мысль, что если он сам себя брить не будет, то окажется, что он сам не бреется, и по приказу командира он должет все-таки себя побрить...

*5 Приказ довольно разумный: если солдат бреется сам, то зачем тратить на него время полковому парикмахеру? Наверное, полк был большой, и брадобрей просто не справлялся.

Что с ним стало, история умалчивает.

Причем же здесь теория множеств? А вот причем: командир пытался определить множество людей, которых брадобрею нужно брить, таким образом:
{те и только те, кто не бреется сам}.
Казалось бы, обычное множество, описывается несколькими русскими словами, чем оно хуже, например, множества
{все ученики школы}?
Но с этим множеством тут же возникает проблема: непонятно, принадлежит ли этому множеству брадобрей.

Вот другая версия этого парадокса.

Прилагательное русского языка назовем рефлексивным , если оно обладает свойством, которое определяет. Например, прилагательное "русский" – рефлексивное, а прилагательное "английский" – нерефлексивное, прилагательное "трехсложный" – рефлексивное (это слово состоит из трех слогов), а прилагательное "четырехсложный" – нерефлексивное (состоит из пяти слогов)*6. Вроде бы ничто не мешает нам определить множество
{все рефлексивные прилагательные}.

Но давайте рассмотрим прилагательное "нерефлексивный". Оно рефлексивное или нет?

*6 Интересно, а прилагательное "трудновыговариваемое" является рефлексивным?

Можно заявить, что прилагательное "нерефлексивный" не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным. Но как тогда быть с таким заклинанием:
верно либо утверждение, либо его отрицание ?
(Это заклинание называется законом исключенного третьего; на нем, собственно, и основан метод от противного.)

Наконец, третья версия парадокса. Рассмотрим множество
M = {множества A, такие что A П A}
– мы включаем во множество M только те множества A, которые принадлежат сами себе. Бывают же множества, которые содержат другие множества. Например, пусть
A = {1,2,3}, B = {{1,2},3},
множеству A принадлежат числа 1, 2, 3, а множеству B – два элемента: множество {1,2} и число 3. Возвращаясь к коробкам, это можно сказать так: одни коробки можно класть в другие коробки. (Оказывается, что в каждой такой последовательности вложенных коробок всегда конечное число элементов – этому есть глубокие причины.)

Рассмотренное множество M – это своего рода "брадобрей". Если предположить, что M О M, сразу приходим к выводу, что M П M. Если же предположить, что M П M – получаем, что M О M.


Столкнувшись с этими парадоксами, создатели теории множеств осознали, что нельзя задавать множества произвольными словосочетаниями. После этого они стали бороться с парадоксами двумя способами.

Первый способ – способ Кантора, придумавшего "наивную теорию множеств", в которой запрещаются все действия и операции, ведущие к парадоксам. Идея в следующем: разрешается работать со множествами, которые " встречаются в природе", также разрешается работать со множествами, которые получаются из них разумными теоретико-множественными операциями. Пусть, например,
A = {множество учащихся школы},

B = {множество непрерывных функций}
(эти множества "встречаются в природе"), из них можно получить объединение AИB, пересечение AЗB. Можно даже умножить множество A на множество B: по определению
A×B = {(a,b): a О A, b О B}
– множество пар, в которых первый элемент из первого множества, а второй – из второго. В нашем случае A×B – это множество пар, в которых первый элемент – учащийся школы, а второй – какая-нибудь непрерывная функция.

Другой способ – аксиоматический. Этот способ преодоления парадоксов развивали Цермело и Френкель (система аксиом Цермело–Френкеля), Гедель и Бернайс (система аксиома Геделя–Бернайса). Согласно этой теории, множество – это нечто, удовлетворяющее аксиомам, например, следующим1.

1. Аксиома объемности. Множество определяется своими элементами: множества, состоящие из одних и тех же элементов, равны. 1. " z (z О x Ы z О y) Ю Ю x = y.
2. Аксиома объединения. Объединение всех элементов множества есть множество. 2. Set{z: $ y О x (z О y)}.
3. Аксиома выделения. Для каждого множества A и каждого условия j существует множество
B = {x: x О A, j(x)}
– подмножество элементов множества A, удовлетворяющих условию j.
3. " x (j(x) Ю x О y) Ю Ю Set{x: j(x)}.
Другими словами, мы не можем взять множество всех летающих крокодилов со всего мира или множество тех множеств, которые не содержат сами себя, а можем, взяв некоторое множество, выделить в нем "кусочек" – множество его элементов, удовлетворяющих некоторому условию.
4. Аксиома степени. Множество всех подмножеств данного множества есть множество. 4. Set{y: y Н x}.
5. Аксиома подстановки. Пусть X – множество, а j(y,z) – произвольная формула. Тогда если для каждого y существует и единственен z, такой что истинно j(y,z), то существует множество всех z, для которых найдется y О X, такой что j(y,z) истинно. 5. " y $! z j(y,z) Ю Set{z: $ y О x j(y,z)}.
6. Аксиома фундирования. Не существует бесконечной последовательности вложенных множеств: каждая цепочка множеств
A1 ' A2 ' A3 ' ...
конечна.
6. $ y (y О x) Ю $ y О x " z О y (z П x).
7. Аксиома бесконечности. Существуют бесконечные множества, т. е. такие множества A, что A равномощно AИ{A}. 7. $ x (($ y О x " z (z П y)) Щ " y О x $z О x (w О z Ы w О y Ъ w = y)).
8. Аксиома выбора. Еще одна очень сложная, но и очень очевидная аксиома – о ней позже.


1 Справа приведены записи аксиом на "языке кванторов". Вот значения использованных кванторов: " x – для любого x; $ x – существует x; $! x – существует единственный x; Set{... } – {... } является множеством; {x: j(x)} – множество тех и только тех x, которые удовлетворяют условию j(x); Ъ – логическое "или"; Щ – логическое "и". Подробнее об аксиоматике теории множеств см. книгу [4].

На головную страницу