Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

И. В. Ященко Парадоксы теории множеств


5. Парадоксы, связанные с бесконечностью

С бесконечными множествами мы уже встречались и даже установили один удивительный факт: множества N \ {1} и N равномощны. Мы знаем, что если к конечному множеству добавить элемент, то полученное множество неравномощно тому, которое было2. Это очень важное различие между конечными и бесконечными множествами, и даже определение бесконечного множества в некоторых учебниках дается так: множество называется бесконечным, если оно равномощно себе плюс еще один элемент.

А теперь – еще одна история.

5.1. Дед Мороз и конфеты

На Новый год к детишкам пришел Дед Мороз с мешком конфет. Конфет в мешке бесконечно много, и они занумерованы натуральными числами*9. На каждой конфете написан ее номер, и для каждого натурального числа есть ровно одна конфета с этим номером. За одну минуту до полночи Дед Мороз взял конфету № 1 и подарил детям. Через полминуты он дал детям конфеты № 2 и № 3 *10, но при этом конфету № 1 забрал*11. Еще через четверть минуты он дал детям конфеты № 4, № 5, № 6 и № 7, но забрал конфеты № 2 и № 3. И так далее: щедрый Дед Мороз каждый раз дает вдвое больше конфет, чем на предыдущем шаге, и за [ 1/(2n)] мин. до полночи дает конфеты с номерами
2n, 2n + 1, ..., 2n + 1 - 1,
а забирает конфеты с номерами
2n - 1, 2n - 1 + 1, ..., 2n - 1,
которые сам же дал на предыдущем шаге. При этом количество конфет у детей стремительно возрастает*12.

*9 Наверное, Дед Мороз был математический...

*10 Видимо, понял, что дал мало.

*11 Неужели дети ее за полминуты еще не съели?

*12 Так что дети чувствуют себя совершенно счастливыми.

Сколько конфет будет у детей в полночь?

Давайте разбираться последовательно. У кого будет в полночь первая конфета? У Деда Мороза. А вторая конфета? У Деда Мороза: он забрал ее себе за четверть минуты до полночи*13. У кого будет m-я конфета? Если 2n - 1 Ј m Ј 2n - 1, то за [ 1/(2n)] мин. до полночи хитрый Дед Мороз ее забрал. Итак, каждая конкретная конфета в полночь окажется у Деда Мороза. Что же получается? После каждого шага у детей становится в два раза больше конфет, а в полночь происходит катастрофа?

*13 М-да... Начинают закрадываться подозрения.

На самом деле парадокса тут никакого нет*14. Все дело в том, что бесконечные множества устроены существенно сложнее конечных, и интуиция тут не всегда срабатывает правильно.

*14 Все нормально, кроме того, что обидно. Но не каждое верное утверждение должно быть приятно.

Математики довольно долго боялись абстрактного понятия "множество". Понятно почему: возникали парадокс брадобрея, парадокс с нерефлексивным прилагательным и другие очень странные множества, например, бесконечные, свойства которых иногда очень непохожи на свойства конечных множеств3. Кроме этого, рассматривая бесконечные множества, математики столкнулись с аксиомой выбора, которую мы уже упоминали.


2 Несмотря на очевидность этого утверждения, доказывается оно довольно сложно. Кроме того, перед доказательством нужно еще понять, что такое "конечное множество".

3 Даже Евклид опасался бесконечных множеств и свою знаменитую теорему о том, что простых чисел бесконечно много, формулировал так: простых чисел больше любого наперед заданного количества, т. е. какое бы число мы ни взяли, простых чисел все равно больше чем это число.

На головную страницу