Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

И. В. Ященко Парадоксы теории множеств


6. Аксиома выбора

Пусть имеется непустое множество. Всегда ли мы можем взять из него какой-нибудь элемент? Конечно: раз множество непусто, в нем есть хотя бы один элемент, вот этот элемент и возьмем.

Рис. 3

А если есть n непустых непересекающихся множеств, и нужно из каждого взять по элементу? Нет проблем: возьмем сначала в первом множестве какой-нибудь элемент, потом во втором множестве какой-нибудь элемент и т. д. Таким образом мы построим новое множество, которое пересекает ровно по одному элементу каждое из исходных множеств.

А если множеств бесконечно много? Просто так взять по одному элементу из бесконечного числа множеств опасно – может получиться как с Дедом Морозом.

Мы уже договорились множества представлять себе коробками, в которых лежат элементы. А сейчас мы будем рассматривать обувные коробки, в каждой из которых два ботинка и шнурки к ним. Допустим, мы хотим по одному ботинку из каждой пары поставить на витрину в магазине*15. Как взять из каждой коробки по одному ботинку? Мы уже умеем это делать, если коробок конечное число. А если их бесконечно много? В самом деле, пусть на каждой коробке стоит номер, и для каждого натурального числа n есть коробка с номером n, в которой лежат два ботинка и шнурки (рис. 3). Как же нам выбрать из каждой пары по одному ботинку, т. е. как задать множество ботинок, которые попадут на витрину? Например, можно взять множество
{все правые ботинки}.
Заметим, что мы не возились с каждой коробкой, определяя, какой из нее взять ботинок, и вообще никаких действий не производили, а просто рассмотрели некоторое множество. И это множество пересекает каждую коробку ровно по одному ботинку.

*15 Если поставить два ботинка, то украдут.

А как из каждой коробки выбрать по шнурку*16? Если бы на одном из шнурков в каждой коробке был завязан узелок, мы просто рассмотрели бы множество шнурков с узелком. Проблема в том, что шнурки неразличимы, и какой из них брать (или на каком из них вязать узелок), непонятно. Просто взять и вытащить любой шнурок мы не можем: коробок бесконечно много. Во тут-то и нужна аксиома выбора.

*16 Ботинки советские, поэтому шнурки отдельно.

Подробнее об аксиоме выбора см. книги [4, 5].

На головную страницу