Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

И. В. Ященко Парадоксы теории множеств


7. Неизмеримое по лебегу множество

Рассмотрим пример применения аксиомы выбора. С ее помощью мы построим множество на окружности S1, неизмеримое по Лебегу.

Мера m(A) – "длина множества A" – это функция, удовлетворяющая следующим свойствам.

1. m(S1) = 1.

2. (Счетно-аддитивность.) Для счетного числа попарно непересекающихся множеств A1, A2, ..., An, ... мера объединения этих множеств равна сумме мер самих множеств:
m ж
и
Ґ
И
i = 1
Ai ц
ш
= Ґ
е
i = 1
m(Ai).

3. (Неотрицательность.) m(A) і 0.

Кроме того, потребуем от меры Лебега еще одно свойство, которое, вообще говоря, не требуется от произвольной меры. Это свойство называется инвариантностью.

4. Если множество подвинуть (в случае окружности – повернуть), мера не должна измениться:
m(A) = m(j(A)),
где j – поворот.

Например, если A – это половина дуги окружности, то m(A) = [ 1/2]. Действительно, если B = S1 \ A – дополнение к A, то
m(A) + m(B) = m(AИB) = m(S1) = 1 и m(B) = m(jp(A)) = m(A),
поэтому 2m(A) = 1 и m(A) = [ 1/2].

А любое ли множество A на окружности измеримо по Лебегу, т. е. для любого ли множества A можно вычислить его меру m(A)? Оказывается, что не для любого.

Первый пример неизмеримого по Лебегу множества привел Витали.

Каждая точка на окружности задается углом от 0 до 2p – и далее мы будем обозначать точки окружности числами от 0 до 2p. Назовем две точки a и b эквивалентными, если
a - b = q · 2p, q О Q
(будем в таком случае писать a ~ b). Таким образом, окружность разбивается на так называемые классы эквивалентности – множества Ax, в которые вместе с точкой x входят и все точки, эквивалентные x. Могут ли два таких множества Ax и Ay пересекаться? Если u – общий элемент этих множеств, то u ~ x для любого элемента x О Ax и u ~ y для любого элемента y О Ay. Но если
u - x
= q1 · 2p, q1 О Q,
u - y
= q2 · 2p, q2 О Q,
то x - y = (q2 - q1) · 2p, т. е. x ~ y, поскольку q2 - q1 О Q. Следовательно, Ax = Ay.

Таким образом, как и равенство ( = ), наше отношение эквивалентности ( ~ ) обладает транзитивностью: если a ~ b, b ~ c, то и a ~ c. Отношение эквивалентности, очевидно, обладает также симметричностью и рефлексивностью: если a ~ b, то и b ~ a; a ~ a для любого a.

Используя аксиому выбора, выберем из всех классов эквивалентности по одному представителю и образуем из них множество V. Чему может быть равна мера полученного множества V? Мера m(V) не может быть равна 0, поскольку

И
q О Q
j2pq(V) = S1
(множества j2pq(V) попарно не пересекаются), а

е
q О Q
m(j2pq(V)) =
е
q О Q
0 1.
По аналогичным причинам мера m(V) не может быть больше 0, поскольку тогда получается, что
m(S1) =
е
q О Q
m(j2pq(V)) = + Ґ.
Поэтому считается, что мера m(V) неопределена, т. е. V является неизмеримым по Лебегу множеством.


Как видите, с рассмотрением аксиомы выбора появляются новые проблемы – этакие "математические монстры" – неизмеримые по Лебегу множества. Однако совсем запретить аксиому выбора тоже нельзя. При помощи именно аксиомы выбора в математическом анализе доказывается эквивалентность двух определений предела функции.

На головную страницу