Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

Д. В. Аносов Взгляд на математику и нечто из нее


О зарождении математики

Меня пригласили прочитать вам лекцию, а о чем, не сказали. Раз ничего определенного мне не было заказано, встал вопрос: о чем же говорить? К счастью, в художественной литературе нашлась подсказка --- "Взгляд и нечто". Но у меня будет не совсем так, как там, дабы не было явного плагиата. У Грибоедова сказано: "О чем бишь нечто? обо всем". А у меня "нечто" --- это пара конкретных примеров, а вот "взгляд" будет обо всей математике.

1. О зарождении математики

Итак, взгляд на математику. Откуда она произошла, когда и где это было? Считается, что не только математика, но и вся наука как единая система знаний, не обязательно непосредственно связанных с практической деятельностью, и как отдельная сфера человеческой деятельности, имеющей своей целью получение новых знаний, возникла в Древней Греции. До того уже имелись научные сведения, подчас немалые, но, насколько мы можем судить, не было науки в том смысле, как я сказал. Может быть, то, что было до греков, стоит назвать "протонаукой".1

Что было после возникновения и поначалу блестящего развития науки в Древней Греции, вы, вероятно, знаете. У греков эстафету переняли арабы. Это были не только этнические арабы, но и вообще народы исламского мира. Арабский язык, будучи языком Корана, стал языком, который каждый образованный мусульманин должен был знать. Поэтому он стал международным языком. Научные труды тоже писали по-арабски. Ну а у арабов науку переняли европейцы. Здесь надо сделать оговорку, что переход от протонауки к науке произошел, пусть не столь отчетливо и несколько позднее, также и в Древнем Китае, и никакого греческого влияния при этом не могло быть. Но если во втором тысячелетии нашей эры различные китайские достижения --- порох, ракеты, примитивное книгопечатание, бумага --- проникли в Европу, а лет за 500 до того то же произошло с шелком и все это оказало немалое влияние на средневековую Западную Европу, то о китайских научных достижениях европейцы узнали тогда, когда они уже в этом не нуждались.

Итак, говоря о зарождении математики, надо сперва сказать о возникновении протонауки, а потом о ее преобразовании в науку.

Протонаука зародилась в Древнем Египте и Древней Месопотамии. Древние греки об этом знали. Но начало этого процесса отстояло от них примерно на столько же, на сколько древние греки отстоят от нас. Судите сами: интересующий нас период в истории Древней Греции --- это, грубо говоря, 500 лет до н. э. плюс-минус двести лет, после чего идет уже эпоха эллинизма. А возникновение первого египетского государства и шумерских государств или протогосударств в Месопотамии --- это примерно 3000 лет до н. э. плюс-минус несколько столетий (датировки на моей памяти изменялись в пределах этих плюс-минус, но для нас это несущественно). Примерно тогда же возникла письменность, и, по-видимому, примерно тогда же человечество овладело первыми знаниями, составившими начало протонауки. Значительное развитие первые протонауки --- протоматематика и протоастрономия --- получили вскоре после 2000 года до н. э., и к середине второго тысячелетия до н. э. они уже определенно сложились. Древнегреческие мыслители, писавшие о зарождении науки, знали, что цивилизации Египта и Месопотамии намного древнее греческой и что довольно многочисленные и подчас далеко не простые научные сведения были там известны задолго до того, как они стали достоянием греков, независимо от того, заимствовали ли греки эти сведения на Востоке или приобрели их самостоятельно. Но эти древнегреческие мыслители не умели читать ни египетские иероглифы, ни месопотамскую клинопись, а теперь это умеют, хоть и не всегда свободно. Греки нередко путешествовали в Египет, реже в Месопотамию, но на западном берегу Средиземного моря тогда имелись греческие города, у которых были связи со многими частями Персидской Империи, в том числе и с Вавилоном, так что и из Вавилона до греков тоже кое-что доходило. Кроме того, в греческую эпоху связи между Вавилоном и Египтом были довольно развитыми, так что вавилонская наука могла доходить до греков и через Египет. Но греческий автор мог узнать только то немногое, что ему во время сравнительно непродолжительного пребывания в Египте или Вавилоне мог сообщить переводчик или что рассказывали приезжие из этих стран. Так что хотя за несколько столетий до н. э. египетские и месопотамские архивы находились в куда лучшем состоянии, чем то, что дошло до нас, положение современных историков отчасти лучше, чем древнегреческих. Должно быть, из-за того, что их возможности ознакомления с египетскими и месопотамскими научными сведениями были ограничены, древнегреческие историки науки, насколько известно, не отмечали качественного отличия возникшей у них науки от протонауки Древнего Востока. Т. е. они не осознавали главного достижения своих соотечественников!

Что же все-таки говорили древние греки о начальном этапе зарождения науки (когда, как мы теперь знаем, она была еще протонаукой)? Они считали родиной науки Египет, хотя теперь известно, что в Месопотамии она возникла независимо и что в некоторых отношениях уровень вавилонян был намного выше. Это свидетельствует о том, что связи с Египтом в Греции были лучше налажены, чем с Вавилоном. Как полагал Аристотель, зарождение математики было связано с тем, что у египетских жрецов было много свободного времени и они размышляли о возвышенных предметах. Другие авторы, и прежде всего Геродот, который сам побывал в Египте, связывали зарождение математики, а точнее геометрии, с практической необходимостью --- землемерными работами. (Кстати, само название "геометрия" по-гречески как раз и означает "землемерие".) В Египте необходимость в быстром и точном проведении землемерных работ стояла особенно остро. До недавнего времени --- до строительства Асуанской плотины --- Нил ежегодно, начиная с июня, разливался на несколько месяцев, затопляя значительную часть Нильской долины и принося на затопленные поля плодородный ил. После спадения воды необходимо было восстанавливать границы полей и дороги, а также определять, какую часть того или иного участка в этом году вследствие причиненных разрушений использовать не удастся --- это было нужно для уточнения размера налога. К этому можно добавить, что землемерие требовалось также при крупномасштабном строительстве, будь то строительство пирамид, храмов, дворцов или ирригационных каналов. В Месопотамии вопрос не стоял столь остро, но все же и там случались наводнения и велись строительные работы, включая ирригационные, так что тоже имелась немалая потребность в землемерных работах.

Кто же был прав, Аристотель или Геродот? Думаю, что в известной степени правы оба. В более общем духе можно сказать, что речь идет о задачах практического происхождения и о развитии математики, а отчасти и протоматематики, под действием внутренне присущих ей причин. Оба фактора действуют и в наши дни, только надо пояснить, что теперь для самой математики "практический" характер имеют и ее применения в других науках, даже если поначалу при этом речь идет о внутреннем развитии этих наук, а не об их практических применениях. Вопрос может стоять только о взаимном балансе этих двух факторов --- была ли их роль в том или ином случае более или менее равноправной или же роль одного из них была ведущей.

Применительно к самому началу, видимо, прав Геродот. Древнейшие дошедшие до нас математические тексты являются учебниками, адресованными не жрецам, а писцам. Как указывают историки, в то время вообще не было отдельного сословия жрецов, а их обязанности при случае выполняли уважаемые граждане, миряне, возвращаясь затем к своим обычным занятиям. Писцы же были государственными служащими, которые должны были распределять заработную плату, подсчитывать налоги, вычислять, сколько зерна надо для приготовления такого-то количества хлеба или пива, вычислять площади и объемы, переводить одни меры в другие. Для этого надо уметь производить вычисления, в том числе и с дробями, чему писцы и учились на примерах, содержащихся в их учебниках.

Надеюсь, вам доставит удовольствие следующий отрывок, носящий не математический, а сатирический характер. Автор папируса обращается к реальному или вымышленному писцу, который занимает высокое положение, но в действительности некомпетентен и который, похоже, имеет возможность эксплуатировать автора:

"Я хочу объяснить тебе, что это значит, когда ты говоришь: "Я писец, отдающий приказы армии". Тебе поручено выкопать озеро. Ты приходишь ко мне, спрашиваешь о запасах для солдат и говоришь: "Сосчитай мне это". Ты оставляешь свою работу, и на мои плечи сваливается задача --- учить тебя, как ее надо выполнять. Я ставлю тебя в тупик, когда приношу тебе повеление от твоего господина, тебе --- его царскому писцу ... мудрому писцу, поставленному во главе этого войска. Надлежит сделать насыпь для подъема2 в 750 локтей длины и 55 локтей ширины, состоящую из 120 отдельных ящиков и покрытую перекладинами и тростником. На верхнем конце ее высота 60 локтей, а в середине 30 локтей; уклон ее --- дважды по 15 локтей, а настил --- 5 локтей. Спрашивают у военачальников, сколько понадобится кирпичей, и у всех писцов, и ни один ничего не знает. Все они надеются на тебя и говорят: "Ты искусный писец, мой друг, сосчитай это нам поскорей. Смотри, имя твое славится. Сколько же надо для этого кирпичей?""

Из этого отрывка видны некоторые из обязанностей писца. Речь идет не о каких-то мистических тайнах мироздания или, что то же, богов, чего можно было бы ожидать от жрецов, а о весьма прозаических делах, требующих определенной квалификации. Видно также, что уже три с половиной тысячи лет назад объективно прогрессивный процесс разделения труда дошел до того, что видный организатор науки (протонауки) мог быть не очень в ней силен.

На более позднем этапе (и, может быть, более в Вавилоне, чем в Египте), видимо, сыграли свою роль и "высокие" мотивы вместе с соответствующими возможностями в смысле досуга, о чем говорил Аристотель. Жрецы тоже могли выступить на сцену. Им не приходилось подсчитывать число кирпичей, но они, может быть, занимались астрономией ради астрологических предсказаний. Тогда не могло быть речи о составлении гороскопов, требующем знания положения планет на небе, начиная с момента рождения того лица, для которого составляется гороскоп, и на много лет после того. Но тогда была, так сказать, "протоастрология", делавшая предсказания на более короткие отрезки времени на основании более ограниченных данных о виде неба. С развитием астрономии в ней появилась немаловажная вычислительная сторона, требовавшая некоторой математики. Впрочем, насколько во всем этом участвовали жрецы --- неизвестно. Известно, что заведомо существовали астрологи-профессионалы, которые не были жрецами.

В вавилонской протонауке уже определенно происходил переход к науке. В клинописных текстах рассмотрено много задач, не имеющих отношения ни к кирпичам для насыпи, ни к другим видам практической деятельности. Фактически, там решаются квадратные уравнения и даже отдельные уравнения более высоких степеней --- и это без алгебры! Вавилоняне знали так называемую теорему Пифагора и теорему, обратную к ней. Это как раз могло иметь отношение к землемерию, потому что позволяло с помощью веревки построить прямой угол. В более позднюю эпоху, когда в Греции уже зародилась наука в нашем смысле слова, какие-то геометрические построения на местности с помощью веревки уже определенно производились. На сей счет имеется прямое свидетельство Демокрита, который с гордостью заявил: "В построении линий с доказательствами я никем не был превзойден, даже так называемыми египетскими гарпедонавтами3". В словах Демокрита удивительно упоминание о доказательствах. Ни в одном египетском или вавилонском тексте ничего похожего на доказательства нет. Но, с другой стороны, часть вавилонской протонауки достигла уже такого уровня, когда соответствующие результаты невозможно было получить без каких-то рассуждений, может быть и не дающих исчерпывающе строгого доказательства, но приближающихся к нему. А Демокрит состязался с гарпедонавтами в довольно позднее по масштабам древнеегипетской истории время. Увы, повторяю, что ни одного текста с доказательствами до нас не дошло. Уверенно реконструируется благодаря более поздним индийским источникам только одно-единственное рассуждение --- доказательство теоремы Пифагора.


1"Прото" --- это приставка, происходящая от греческого "протос", которое буквально означает "первоначальный", но теперь ее часто употребляют в несколько ином смысле: "проточто-то" означает нечто такое, что предшествует этому чему-то и из чего это что-то развилось, но что в полной мере этим чем-то еще не является. Например, в этом смысле в археологии и истории говорят о протогосударствах.

2В то время значительную тяжесть поднимали, вкатывая ее на насыпь. Подъемные блоки типа полиспастов изобрели позднее.

3Греческое слово "гарпедонавт" означает "натягивающий веревку".

Следующий раздел

На головную страницу