Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

Д. В. Аносов Взгляд на математику и нечто из нее


Теорема Пифагора и пифагоровы тройки

Пусть a, b --- катеты прямоугольного треугольника, c --- его гипотенуза. Построим квадрат ABCD со стороной a+b и возьмем на его сторонах AB, BC, CD, DA такие точки E, F, G, H соответственно, что AE=BF=CG=DH=a. Иными словами, от каждой из вершин A, B, C, D откладывается по отрезку длины a в направлении к следующей вершине; "следующей" значит "следующей в порядке ABCDA". Наш квадрат разбивается на четырехугольник EFGH и четыре прямоугольных треугольника EBF, FCG, GDH, HAE. У каждого из треугольников один катет равен a, а другой --- b. Значит, все эти треугольники равны, так что, в частности, AEH = BFE. Гипотенуза равна c, а площадь треугольника есть ½ab. У четырехугольника EFGH длина каждой стороны равна c, так что это ромб. Кроме того, все его углы прямые. Например, HEF= AEB- BEF- AEH=180_- BEF- BFE= EBF=90_. Итак, EFGH --- квадрат со стороной c, так что его площадь равна c2. Но сумма его площади и площадей четырех треугольников равна площади исходного большого квадрата, т. е. c2+4*½ab=(a+b)2. Левая часть равна c2+2ab, а правая --- a2+2ab+b2, откуда и видно, что c2=a2+b2. Мы использовали алгебраическую символику, которой в Вавилоне не было, но вавилонские математики умели проделывать все, что здесь требуется, иначе, хотя это и было более громоздко.

Это самое простое и легко запоминающееся доказательство теоремы Пифагора, какое я видел. Теперь его часто используют в школе. Но если вы посмотрите учебники, которые были приняты как основные в течение длительного времени, то вы там его не найдете. Почему? Неужели их авторы, люди вполне сведущие и умные, не знали этого рассуждения, известного уже несколько тысяч лет, или не понимали, что оно понятнее, проще, лучше запоминается, чем другие? Позднее я скажу, в чем, по-моему, здесь дело.

С теоремой Пифагора связана арифметическая задача. Имеются такие тройки натуральных (т. е. целых положительных) чисел x, y, z, что

x2 + y2 = z2.  (1)

Их называют пифагоровыми тройками. Например, годятся числа x=3, y=4, z=5: 9+16=25. Это пример. А можно ли указать все пифагоровы тройки (x,y,z)? Иными словами, можно ли найти все решения уравнения x2+y2=z2 в натуральных числах? (В связи с терминологией обратите внимание, что решение --- это не одно число, а три.) Да. Ответ таков: каждое такое решение можно представить в виде
x=l(m2-n2),   y=2lmn,   z=l(m2+n2),  (2)

где l, m, n --- натуральные числа, причем m>n, или в аналогичном виде, в котором x и y меняются местами. Можно чуть короче сказать, что x, y, z из (2) со всевозможными натуральными l и m > n суть все возможные решения (1) с точностью до перестановки x и y. Например, тройка (3,4,5) получается при l=1, m=2, n=1.

То что при любых натуральных l, m, n с m>n тройка (x,y,z), определяемая согласно (2), является решением (1), можно проверить непосредственно путем простого вычисления, и я на этом останавливаться не буду. Интересно другое: почему любое решение обязательно имеет вид (2)? Об этом я и буду говорить. На самом деле, как это часто бывает, "прокручивая в обратную сторону" мои рассуждения, тоже можно доказать, что любая тройка вида (2) является решением, но на этом я тоже не буду останавливаться. Что при перестановке x и y снова получается решение --- об этом и говорить нечего.

По-видимому, вавилоняне знали этот ответ, но как они к нему пришли --- неизвестно. (Впрочем, не ясно, знали ли они, что все решения (1) представимы в виде (2), да и задавались ли они таким вопросом. Имеется правдоподобная, хотя и гипотетическая, реконструкция их рассуждений, в которой этим вопросом не задаются, а ищут способ как-нибудь получить побольше решений.) Как его позднее доказывали древние греки --- известно; по существу, их доказательство в модернизированном виде (с явным использованием алгебры) воспроизводится во многих книгах, и, вероятно, многие из вас его знают. А я хочу рассказать несколько более простое доказательство, которое я узнал в свои студенческие годы от моего однокурсника Юры Манина. Ныне Юрий Иванович Манин --- член-корреспондент Российской академии наук, лауреат Ленинской премии, один из директоров международного Математического института им. Макса Планка в Бонне. Ни одного из этих высоких титулов вроде бы не нужно, чтобы придумать то простое рассуждение, которое я сейчас расскажу; в истории неоднократно бывало, что любители придумывали куда более затейливые вещи. Тем не менее, я нигде в литературе не встречал этого рассуждения. Впрочем, не могу поручиться, что его нигде нет или что никто, кроме Манина, такого доказательства не мог придумать. Так что не исключено, что кто-нибудь из вас это рассуждение знает. Но уж точно, что таких среди вас не может быть много --- рассуждение если и является известным, то не общеизвестным.

Сперва несколько простых замечаний, которые предшествуют и обычному доказательству. Если x, y и z имеют общий делитель k>1, скажем x=ku, y=kv, z=kw, где u, v, w --- натуральные числа, то ясно, что тройка (u,v,w) снова является решением (1). Обратно, если мы знаем какое-то решение (x,y,z), то, умножив эти три числа на какое-нибудь натуральное k, мы снова получим решение. Поэтому можно ограничиться разысканием решений, не имеющих общего делителя. В данный момент речь идет об общем делителе всех трех чисел. Но если бы у двух из этих чисел, скажем у x и y, был общий делитель, то тот же делитель был бы и у третьего. Поэтому мы можем ограничиться разысканием решений, в которых любые два числа (x и y, x и z, y и z) не имеют общих делителей, больших 1. Это выражают словами: рассматриваемые числа x, y, z попарно взаимно просты.

При l1 числа x, y, z в (2) не взаимно просты: они имеют общий делитель l. Так что если мы интересуемся только взаимно простыми x, y, z, то для них в (2) должно быть l=1, и утверждение, которое мы хотим доказать, несколько упрощается: натуральные решения (x,y,z) уравнения (1) с взаимно простыми x, y, z с точностью до перестановки x и y представимы в виде

x=m2-n2,   y=2mn,   z=m2+n2,  (3)

где m, n --- натуральные числа и m>n. Заметьте, что я вовсе не утверждаю обратного: что любые (x,y,z), получающиеся согласно (3) с натуральными m>n, являются решением (1) и попарно взаимно просты. Решением эта тройка будет, но числа x, y, z не обязательно получатся взаимно простыми. Ведь если у m и n есть общий делитель, то он войдет (даже с квадратом) и в x, и в y, и в z.

Так что если бы я хотел настаивать на обратном утверждении, что любые (x,y,z), получающиеся согласно (3) с натуральными m>n, будут решением (1) с попарно взаимно простыми x, y, z, то я, самое меньшее, должен был бы уточнить: с взаимно простыми m и n. А было бы такого уточнения достаточно? Оказывается, нет (вначале, должен сознаться, я было подумал, что да, но меня поправили). Ведь если m и n оба нечетные, то x получится четным, а y в (3) всегда четное. Но если одно из чисел m, n четное, а другое нечетное, то x получится нечетным, и общим с y у него мог бы быть только нечетный делитель. Тогда у x и y имеется и нечетный простой делитель p. Раз 2mn делится на p, то m или n делится на p, а тогда, раз m2-n2 тоже делится на p, то и второе из чисел m, n делится на p, т. е. m и n не взаимно просты, а мы уже решили, что будем брать только взаимно простые m, n. Но главное, что этого нам сейчас не нужно. Нам надо только установить, что решение (1) с взаимно простыми натуральными x, y, z обязательно представимо в виде (3) с какими-то m, n, а что при каких-то других m, n могут получиться решения с не взаимно простыми x, y, z --- это нас сейчас не касается.

Другое замечание состоит в том, что когда мы ограничиваемся решениями с попарно взаимно простыми x, y, z, то одно из чисел x и y должно быть четным, а другое --- нечетным; z при этом, конечно, нечетно. Действительно, если x и y оба четные, то они не взаимно просты, а имеют общий делитель 2. Если же они оба нечетны, то мы можем написать, что x=2r-1, y=2s-1 с некоторыми натуральными r, s. Отсюда

z2=(2r-1)2+(2s-1)2=4(r2-r+s2-s)+2.

Получается, что z2 делится на 2, но не делится на 4. Но это невозможно: если z нечетно, то z2 и на 2 не делится, а если z четно, то z2 делится на 4.

Раз одно из чисел x и y четно, а другое нечетно, то можно считать, что нечетно x, а четно y, --- в противном случае мы просто изменим обозначения. Вот теперь начинается главное. Перепишем (1) так:

y2=z2-x2, 2-2=1

или, обозначая через u и через v, в виде u2-v2=1, т. е. (u+v)(u-v)=1. u и v суть частные двух натуральных чисел, т. е. положительные рациональные числа (дроби). u+v тоже рациональное число, причем положительное. Любое такое число представляется в виде несократимой дроби ; здесь m и n --- натуральные числа, причем взаимно простые (раз дробь несократимая). А если (u-v)=1, то u-v=. Итак,
   (4)
m2+n2 где m, n --- взаимно простые натуральные числа. Рассматривая ( как линейную систему уравнений относительно u, v, решим ее, для чего достаточно сложить эти два уравнения, откуда получится 2u, и вычесть второе из первого, откуда получится 2v:
=u=,    =v=.  (5)

Отсюда видно, кстати, что m>n.

Мы знаем, что и --- несократимые дроби. Если бы мы знали, что дробь тоже несократимая, то из (5) сразу следовали бы соотношения (3). Но пока что мы этого не знаем; однако о дробях , мы знаем, что они несократимые. Поэтому из (5) мы вправе сделать заключение, несколько более слабое, чем (3): существует такое натуральное k, что

m2+n2=kz,   2mn=ky,   m2-n2=kx.  (6)

Допустим, что k имеет нечетный простой делитель p. Тогда 2mn делится на p, а раз это нечетное простое число, то m или n делится на p. Но тогда и одно из слагаемых в левой части равенства m2+n2=kz, и его правая часть делятся на p; выходит, что и второе слагаемое в левой части тоже делится на p. Получается, что и m, и n делятся на p, хотя они взаимно просты. Итак, у k нет нечетных простых делителей, так что k есть степень двойки. Вспомним, что y --- четное число, y=2w. Получается, что 2mn=2kw, mn=kw, и если k --- степень двойки (с ненулевым показателем), то число mn четное. Тогда хотя бы одно из чисел m, n --- четное. Но из m2+n2=kz следует, что m2+n2 --- четное число, и если вдобавок одно из чисел m или n --- четное, то и другое должно быть четным. Снова у m и n нашелся общий делитель. Остается признать, что k=1, а это и означает (3).

Следующий раздел

На головную страницу