Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

Д. В. Аносов Взгляд на математику и нечто из нее


Внутренние математические проблемы

Я говорил о построении систематических теорий. Вы знаете две такие теории: геометрию и арифметику вместе с алгеброй (в пределах школьного курса последние две на самом деле составляют единое целое). Но в математике много различных систематически построенных теорий с различными предметами исследования и различной степени общности. Те из вас, которые учатся в спецшколах или спецклассах физико-математического направления, возможно, знают, что алгебра как бы "отсоединяется" от арифметического материала и в таком виде может применяться к совсем иным объектам.

Но если говорить о внутреннем развитии математики, не вызванном ее приложениями (по крайней мере, не вызванном непосредственно), то есть и другая сторона дела --- решение различных проблем. Вы представляете себе задачи, которые вам предлагают на математических олимпиадах и аналогичных соревнованиях. На их решение дается несколько часов, во время которых приходится работать весьма интенсивно. Много лет назад член-корреспондент Академии наук СССР Б. Н. Делоне, выступая перед школьниками на закрытии математической олимпиады, сказал, что творчество ученого-математика отличается от труда участника олимпиады только тем, что для решения олимпиадной задачи требуется примерно час времени, а для решения настоящей глубокой математической проблемы требуется 5,000 часов. Если работать по 12 часов в день, то получится примерно год. Можно работать и больше 12 часов, но долго так не выдержишь. Однако А. Н. Колмогоров, академик и один из самых крупных математиков XX века, в России, возможно, даже самый крупный, говорил, что у него этих 5,000 часов никогда не было. Сперва он говорил всего о трех сутках, потом увеличил срок до двух недель. Конечно, у него в эти дни интенсивность была исключительно высокой и он думал о своей задаче все время, когда не спал, да, вероятно, какая-то подсознательная работа продолжалась и во сне; в итоге можно набрать примерно 400 часов (15*24=360), что примерно в 10 раз меньше чем 5,000. А вот не было ли у него продолжительной подсознательной работы в то время, когда он о соответствующей задаче вроде бы не думал, т. е. сознательно ею не занимался? Но, насколько я представляю себе Колмогорова, столько часов, сколько полагается по Делоне, все равно не получится. Между тем Колмогоров как раз выделялся числом решенных им крупных научных задач.

С другой стороны, полученное недавно доказательство знаменитой гипотезы Ферма 350-летней давности1 потребовало намного больше 5,000 часов. Окончательное решение было получено Э. Уайлсом, и у него это, действительно, заняло порядка 5,000 часов, но ведь он завершал работу ряда других людей, и с учетом затраты их времени получится едва ли менее 50,000 часов. Но это, конечно, крайний случай.

Есть и еще одно существенное отличие научных задач от олимпиадных. Олимпиадные задачи должны решаться на основе тех знаний, той систематической теории, которые имеются у учеников соответствующего возраста. Решение научной задачи может требовать новых знаний, которых в данный момент ни у кого нет. В ходе ее решения придется разработать какую-то новую теорию, которая затем может пригодиться и для других целей.

Таким образом, развитие математики связано с тремя факторами: ее приложениями (не обязательно в смысле удовлетворения сиюминутных практических потребностей, но также и в смысле использования математики в других науках); решением научных проблем; систематической разработкой новых теорий. Вы, вероятно, знаете, что уже 100 лет регулярно проводятся Международные математические конгрессы. Так вот, при самом их начале, на первом и втором конгрессах, состоялись доклады крупнейших математиков того времени --- А. Пуанкаре и Д. Гильберта, --- посвященные двум первым компонентам развития математики --- вопросам, связанным с физикой (в то время значение других приложений для развития самой математики было значительно меньше, чем значение физики, да и сейчас она в этом отношении лидирует, хотя и не в такой степени), и проблемам, возникающим в самой математике. Докладов о третьей компоненте --- развитии теорий, насколько я знаю, не было ни тогда, ни позднее. Быть может, потому, что не нашлось третьего математика такого ранга, как Пуанкаре и Гильберт, или потому, что наличие этой третьей компоненты очевидно?

Несколько слов в связи с докладом Гильберта. Сперва исторический нюанс: он был как бы спровоцирован докладом Пуанкаре: Гильберт захотел показать, что важнейшие стимулы для развития математики имеются внутри ее самой. Но, работая над докладом, он несколько поостыл --- ведь, в конце концов, Пуанкаре вовсе не утверждал, будто новые задачи возникают только из физики, не говоря уже о том, что заподозрить Пуанкаре в таком одностороннем взгляде было бы нелепо, его творческая деятельность убедительно демонстрировала иное. Никакой полемики с Пуанкаре не произошло.

Доклад Гильберта содержит сравнительно небольшую первую часть, где Гильберт в общих чертах говорил о значении конкретных проблем для развития математики, и наиболее знаменитую вторую часть, где он привел ряд таких проблем с небольшими комментариями. Переходя к формулировке конкретных проблем, Гильберт сказал: "Разрешите мне в дальнейшем, как бы на пробу, назвать несколько определенных проблем из различных математических дисциплин, проблем, исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки". А заканчивая, он сказал, что "названные проблемы --- это только образцы проблем". Он не претендовал на составление всеобъемлющего списка проблем, которые можно было бы указать в то время. В основном он говорил о вопросах, которые были близки к его собственным научным интересам, так что он мог оценить их важность и сделать по их поводу содержательные замечания. Но благодаря свойственной Гильберту широте научных интересов его проблемы затрагивали значительную часть математики. В нескольких случаях Гильберт напоминал о проблемах, поставленных ранее другими людьми, но, например, о проблемах, сформулированных Пуанкаре в далеких от Гильберта разделах математики, он не говорил. Это понятно: Пуанкаре был жив и здоров, он мог сам формулировать и комментировать свои проблемы, да, собственно, он это и делал, только эти его проблемы и замечания разбросаны по его работам, а вместе он их не собирал. Но гильбертовские "образцы" оказались удивительно удачными. Они оказали большое стимулирующее влияние на развитие математики в XX веке.

Надо оговориться, что некоторые из проблем Гильберта относились скорее к разработке систематических теорий, они звучали примерно так: "Исследовать такие-то вопросы с такой-то точки зрения". Но большинство проблем --- это были вполне конкретные вопросы, на которые требовалось ответить "да" или "нет". Как правило, если бы вы от какого-нибудь оракула узнали правильный ответ, большой пользы от этого не было бы, но для того, чтобы получить ответ своими силами, без подсказки оракула, потребовалось придумать много нового и интересного. Об этом я, конечно, не могу здесь говорить, прошу поверить на слово. Я приведу только один пример конкретной проблемы: является ли число рациональным или иррациональным? На самом деле соответствующая проблема (7-я проблема Гильберта) была поставлена в общем виде2, но сам Гильберт считал вопрос о , так сказать, наиболее показательным. Когда ему случалось упоминать впоследствии о 7-й проблеме, он обычно спрашивал именно о .

Повторяю, что Гильберт очень удачно выбрал свои "образцы", нисколько не ошибившись в оценке их важности. А вот в оценке их сравнительной сложности он иногда существенно ошибался. Здесь стоит сказать, как он оценивал сложность трех проблем, связанных с теорией чисел. Речь будет идти об иррациональности и вообще о 7-й проблеме, гипотезе Ферма (она в список проблем Гильберта не попала, скорее всего потому, что о ней все и так помнили, но он упоминал ее во вступительной части) и о гипотезе Римана, которую я даже не буду формулировать (она составляет основную часть 8-й проблемы Гильберта). В его биографии сообщается, что позднее Гильберт однажды так оценил их относительную трудность. Гипотеза Римана будет доказана еще при его жизни (а он был уже не молод). Доживет ли сам Гильберт до доказательства теоремы Ферма, по меньшей мере сомнительно, но самые молодые из присутствующих доживут. Но даже им не суждено узнать, как выяснится вопрос о .

Вышло все наоборот. Иррациональность была доказана еще за 14 лет до смерти Гильберта, в 1930 году. Это сделал Р. О. Кузьмин, но он продолжал работу, начатую А. О. Гельфондом годом раньше, когда Гельфонду удалось сделать первый и чрезвычайно существенный шаг в решении 7-й проблемы Гильберта (в этой первой работе речь шла не об иррациональности чисел типа , а об иррациональности чисел из некоторого другого класса). Окончательный общий результат по 7-й проблеме был получен в 1934 году А. О. Гельфондом и Т. Шнайдером. Гипотеза Ферма была доказана несколько лет назад; в принципе, кто-нибудь из тех, кто слышал предсказание Гильберта в свои студенческие годы, мог до этого дожить, но уж наверняка таких совсем немного. Гипотеза Римана по сей день не доказана и, надо думать, ее XX век передаст XXI, даже если считать, что последний начнется не с 2000 года, а с 2001-го. Мне кажется, эта ошибка гения убедительно свидетельствует, что он действительно удачно выбрал трудные задачи.

Почти все задачи Гильберта теперь решены, правда, некоторые --- не полностью. Все же в основном XX век с этими задачами справился. А Гильберт в какой-то степени сумел заглянуть вперед на 100 лет! В большинстве случаев ответ оказался таким, как он и ожидал, хотя есть несколько исключений.

Мой доклад подходит к концу. О любой из трех компонент, существенных для развития математики, можно было бы сказать гораздо больше, даже не выходя за пределы школьных программ. Особенно мало я сказал о приложениях. Вы учите физику и, конечно, знаете, что математика нужна не только для того, чтобы подсчитать провиант для солдат, копающих пруд, или число кирпичей для насыпи. Что вы, вероятно, знаете хуже --- это как и в какой степени приложения, причем они бывают очень различными, поныне стимулируют развитие самой математики. Но раз уж я начал с цитаты из литературного классика, цитатой и кончу: "Никто необъятного объять не может".


1Вероятно, ее формулировка вам известна, но я все-таки напомню: гипотеза состоит в том, что при n>2 уравнение xn+yn=zn не имеет решений в натуральных числах, т. е. что ни для каких трех натуральных чисел x, y, z последнее равенство не выполняется. Ферма сформулировал это утверждение не как гипотезу, а как известный ему факт; он это сделал в замечании на полях книги древнегреческого математика Диофанта, добавив, что на полях слишком мало места для доказательства. Поэтому данная гипотеза получила название "Великая теорема Ферма", хотя теперь едва ли кто-нибудь верит, что у Ферма действительно было полное доказательство.

2Приведу необходимые пояснения. Алгебраическим называется число, являющееся корнем алгебраического уравнения anxn+...+a1x+a0=0 с целыми коэффициентами ai. Алгебраическое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Иррациональное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным. О существовании трансцендентных чисел подозревали еще в XVIII веке, но первое трансцендентное число указал Ж. Лиувилль в 1844 году. В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность играющего большую роль в анализе числа e, а в 1882 году Ф. Линдеман, развивая метод Эрмита, установил трансцендентность еще более знаменитого числа π. На какое-то время на этом успехи прекратились. 7-я проблема Гильберта гласила: пусть a --- алгебраическое число, отличное от 0 и 1, b --- алгебраическое иррациональное число; не будет ли число ab трансцендентным? Должен добавить (но объяснять этого уже не буду), что числа a, b здесь могут быть комплексными.

На головную страницу