Московское математическое общество, Московский центр непрерывного математического образования, Малый мехмат МГУ

Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"

Н. П. Долбилин. Жемчужины теории многогранников.


Приложение

Теорема Эйлера

В доказательстве теорем Коши и Александрова используется теорема Эйлера. Эта знаменитая теорема впервые появилась в 1752 году в журнале Петербургской академии наук в работах Леонарда Эйлера 1 "Элементы учения о телах" и "Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями".

Теорема Эйлера. Пусть В --- число вершин выпуклого многогранника, Р --- число его ребер и Г --- число граней. Тогда верно равенство

В-Р+Г=2.

Число =В-Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То что эйлерова характеристика равна 2 для некоторых знакомых нам многогранников, видно из таблицы.

Многогранник В Р Г
Тетраэдр 4 6 4 2
Октаэдр 6 12 8 2
Параллелепипед 8 12 6 2
n-угольная пирамида n+1 2n n+1 2
n-угольная призма 2n 3n n+2 2

Рис. 21.

Для доказательства теоремы Эйлера возьмем произвольную грань F1 многогранника, а также смежную с ней по ребру грань F2. Подчеркнем, что эту пару граней ограничивает связный (т. е. состоящий из одного куска) несамопересекающийся контур из ребер этих граней. Выберем третью грань F3, которая прилегает к этой паре по некоторому связному куску ломаной, состоящей из ребер (рис. 21). Это, как нетрудно увидеть, всегда можно сделать. Тогда граница тройки этих граней тоже представляет собой связный несамопересекающийся контур. Легко показать, что к уже отобранным граням можно присоединить четвертую грань, затем пятую и т. д. так, чтобы получающаяся на очередном шаге совокупность граней F1, F2, ..., Fi была ограничена связным несамопересекающимся контуром.

Подсчитывать эйлерову характеристику многогранника будем поэтапно. На первом этапе вклад грани F1 в эйлерову характеристику, т. е. число вершин грани минус число ее ребер (такое же) плюс число граней (в данном случае равное 1), равен 1. Присоединяя новую грань F2, мы прибавляем некоторое число новых вершин, отнимаем число (меньшее числа вершин на единицу) новых ребер и прибавляем единицу, соответствующую новой грани. В итоге, вклад в эйлерову характеристику на втором этапе нулевой. Так как присоединяемая на каждом этапе грань имеет с предыдущими гранями общую границу в виде одной связной ломаной, то на каждом шаге (за исключением последнего) число новых вершин на единицу меньше числа новых ребер. Поэтому на каждом шаге, начиная со второго вплоть до предпоследнего, вклад в эйлерову характеристику нулевой. Присоединение последней грани не дает ни новых вершин, ни новых ребер, добавляя в эйлеровой характеристике к уже имеющейся единице еще одну, соответствующую последней грани. Таким образом, на последнем этапе мы получаем эйлерову характеристику многогранника, равную 2.


Рис. 22.

Теорема Эйлера имеет огромное значение в геометрии. Эта теорема породила новое направление в математике --- топологию. Эйлерова характеристика не зависит ни от длин ребер, ни от площадей граней, ни от каких-либо углов многогранника. Эйлерова характеристика равна 2 независимо от того, выпуклый это многогранник или нет. Главное --- чтобы поверхность этого многогранника не имела дыр и была " похожа" на сферу, а не на рамку (рис. 22). Для многогранника, " похожего" на рамку, эйлерова характеристика равна 0.

Обобщенная теорема Эйлера


В=42   Г=5
Р=41   k=5
В=14   Г=2
Р=11   k=4
В-Р+Г=k+1
Рис. 23.

В действительности нам понадобится соответствующая формула Эйлера не для выпуклого многогранника, а для графа, составленного лишь из части ребер выпуклого многогранника. Рассмотрим на плоскости (или на сфере) граф, состоящий из В вершин, Р ребер --- отрезков (или дуг больших окружностей в случае сферы), соединяющих вершины этого графа. Мы предполагаем, что любые два ребра графа не пересекаются и могут иметь лишь общие вершины. Этот граф разбивает плоскость (или сферу) на некоторое число Г областей, так что от любой точки области можно пройти к любой другой точке этой же области, не пересекая ребра графа. Сам граф может состоять из k связных компонент. Связная компонента состоит из всех ребер и вершин графа, таких что любые две вершины компоненты можно соединить ломаной, состоящей из ребер этой компоненты. На рис. 23 показаны примеры графов, слева --- на плоскости, справа --- на сфере. Легко проверить, что в обоих случаях имеет место равенство В-Р+Г=k+1. Следующая теорема является обобщением теоремы Эйлера:

Обобщенная теорема Эйлера.Для графа, состоящего из В вершин, Р ребер, k компонент и разбивающего плоскость (или сферу), на которой он лежит, на Г областей, выполняется равенство В-Р+Г=k+1.

Рассмотрим пару примеров, иллюстрирующих эту теорему. Если в графе нет ни одного ребра и имеются только В вершин, то Р=0, Г=1, k=В и В-Р+Г=k-0+1=k+1.


Рис. 24.

Другой пример. Возьмем выпуклый многогранник, например куб, и из точки, лежащей внутри его, спроецируем вершины, ребра и грани этого многогранника на сферу с центром в центре проектирования (рис. 24) соответственно в вершины, ребра графа и области, на которые разбивается сфера ребрами графа. Для полученного графа на сфере k=1. В этом случае обобщенная теорема есть по существу теорема Эйлера для выпуклых многогранников.

Докажем обобщенную теорему. Пусть в графе имеется концевая вершина: так мы будем говорить о вершине, из которой выходит только одно ребро графа. Рассмотрим две возможности: второй конец этого ребра принадлежит еще одному ребру или второй конец принадлежит лишь этому ребру. Рассмотрим сначала второй случай. Удалим ребро и обе его вершины. При этом число областей Г не изменится, число вершин В уменьшится на 2, число ребер Р и число компонент k уменьшатся на 1 каждое. Величина В-Р+Г-k не изменится. В первом случае удалим ребро и лишь одну его вершину --- концевую. При этом число областей Г опять не изменится, число вершин В и число ребер Р уменьшатся на 1 каждое, число компонент k не изменится. В итоге величина В-Р+Г-k не изменится.

Пусть в нашем графе нет концевых вершин, т. е. из каждой вершины выходит по крайней мере два ребра. Тогда из ребер графа можно составить замкнутый несамопересекающийся путь. Такой путь разбивает плоскость (или сферу) на две связные части. 2 Выбросим из этого пути одно ребро. Тогда числа В и k не изменятся, число Р уменьшится на 1. Уменьшится на 1 также и число Г, так как две области, смежные по этому ребру, теперь объединятся в одну область.

Поэтому при удалении ребра из замкнутого пути величина В-Р+Г-k также не изменится.

Таким образом, мы можем удалить из графа все ребра, при этом не изменяя величины В-Р+Г-k. А для графа, не содержащего ни одного ребра, но состоящего из В вершин, как мы видели выше, Р=0, В=k, Г=1. Следовательно, В-Р+Г=k+1. Обобщенная теорема Эйлера доказана.

Леммы Коши

Лемма 1 (Коши). Пусть на выпуклом многограннике некоторые ребра отмечены знаком "+ " или "-". Выделим все те вершины многогранника, к которым подходит хотя бы одно отмеченное ребро. Тогда среди выделенных вершин найдется такая вершина, при обходе которой встретится менее четырех перемен знака.

Ребра, отмеченные тем или иным знаком, образуют граф. Этот граф, имеющий В вершин и Р ребер, состоит из k компонент и разбивает поверхность многогранника на Г областей. Обозначим через N общее число перемен знака при обходах всех вершин многогранника. Так как нейтральные ребра при подсчете числа N не учитываются, то число N перемен знака будет равно общему числу перемен знака при обходе вершин лишь нашего графа.

Для доказательства леммы достаточно показать, что N<4В. В действительности, мы, вслед за Коши, докажем более сильное неравенство: N4В-8.

Легко видеть, что общее число перемен знака при обходах вершин равно общему числу перемен знака при обходах контуров всех областей (рис. 26, а). Это следует из того, что каждая пара соседних ребер при обходе вершины является одновременно парой соседних ребер и при обходе контура соответствующей области и наоборот.


а) б)
Рис. 26.

Так как области, на которые граф разбивает поверхность многогранника, могут оказаться довольно сложными, то необходимо чуть подробнее разобраться с тем, что такое число перемен знака при обходе контура области. Представим себе, что наша область --- это озеро, а ребра, примыкающие к ней, составляют берега озера. Эти берега окаймляют, в частности, острова, полуострова. Некоторые из этих островов-полуостровов могут быть " нулевой" ширины, так как в них входят ребра, омываемые с обеих сторон этим озером (рис. 26, б). Находясь в лодке возле какого-то берегового ребра, отправимся в прибрежное плавание. Плывя вдоль берега от одного ребра к следующему, подсчитываем число перемен знака. Если при этом очередное ребро имеет свободную концевую вершину, то мы оплываем это ребро сначала с одной его стороны, а затем, после вершины, это же ребро, но с другой стороны. Естественно, что перемены знака при переходе с одной стороны на другую сторону того же ребра нет. Рано или поздно наше каботажное плавание завершится возвращением к исходному ребру. Если мы при этом оплыли все береговые ребра данного озера (области), то мы подсчитали вклад данной области в общее число перемен знака. Если же имеются еще ребра, мимо которых мы не проплывали, нам нужно совершить новое прибрежное плавание, отправляясь от одного из них, и т. д. В результате мы получим полный вклад в общее число перемен знака при обходе ребер данной области. Вклад области, изображенной на рис. 26, б равен 8. Просуммировав вклады по всем областям, получим общее число N перемен знака.

Обозначим через Гi число областей, ограниченных i ребрами, i 3. При этом каждое ребро считается один раз, если данная область прилегает к нему только с одной стороны, и два раза, если с обеих. Например, область, изображенная на рис. 26, имеет 20 ребер.

Тогда

Г=Г3456+...(1)

Ясно, что при обходе контура i-реберной области число перемен знака не больше i, а если i нечетно, то не больше чем i-1. Поэтому

N3+4Г4+4Г5+6Г6+6Г7+...(2)

Так как каждое ребро либо принадлежит двум областям, либо считается дважды в одной области,
2Р=3Г3+4Г4+5Г5+6Г6+...(3)

Так как граф состоит из k 1 компонент, то, по обобщенной теореме Эйлера, имеем:
В-Р+Г 2.

Последнее неравенство перепишем в виде
4В-8 4Р-4Г.(4)

Подставим в (4) соотношения (3) и (1):
4В-8 2(3Г3+4Г4+5Г5+...)-4(Г345+...)= 2iГi-i =(2i-4)Гi =2(i-2)Гi. (5)

В неравенстве (5) коэффициент при Гi равен 2(i-2) и при i3 не меньше ближайшего к i снизу четного числа. А именно такой коэффициент стоит при Гi в неравенстве (2). Поэтому из (2) и (5) следует требуемое неравенство N4В-8.

Лемма 2 (Коши). Пусть у двух выпуклых n-угольников на плоскости (или на сфере) соответственные стороны равны, а среди соответственных углов имеются неравные. Отметим знаком "+" (или "-") вершины тех углов первого многоугольника, которые строго больше (или меньше) соответствующих углов другого. Тогда число перемен знака при обходе вершин первого многоугольника не меньше четырех.

Предположим, что число перемен знака при обходе вершин многоугольника равно двум. Тогда вершины многоугольника группируются в два блока: в одном нет ни одной вершины со знаком "-", во втором --- нет вершин со знаком "+".

Возьмем на многоугольнике =A1A2... An точки E и F, лежащие между вершинами с разными знаками (рис. 27). Возьмем теперь на многоугольнике =B1B2... Bn соответствующие точки G и H, т. е. такие что AiE=BiG, AjF=BjH (см. рис. 27).


Рис. 27.

Сравним ломаные EAi... AjF и GBi... BjH. Среди углов Ak первой ломаной есть хотя бы один, который строго больше соответствующего угла второй, а все остальные углы Ak не меньше своих визави. Поэтому ломаную EAi... AjF можно получить из ломаной GBi... BjH увеличением углов последней. Представляется очевидным, что в результате такой деформации ломаной замыкающая ее хорда должна увеличиваться, т. е. EF>GH. Это неравенство следует из теоремы Коши о многоугольниках (см. ниже). Хорда EF стягивает и другую ломаную --- EAi-1... Aj+1F, которая получается из ломаной GBi-1... Bj+1H уменьшением углов последней. Поэтому EF<GH. Два противоречащих друг другу неравенства показывают, что предположение о наличии ровно двух перемен знака неверно. Аналогичные рассуждения показывают, что число перемен знака не может равняться и нулю. Следовательно, перемен знака не меньше четырех, что и требовалось доказать.

Теорема Коши о многоугольниках

Теорема о многоугольниках (Коши). Пусть =A1... An и =B1... Bn --- два выпуклых многоугольника (плоских или сферических) с одним и тем же числом вершин. Пусть, далее, выполнены условия

1) все стороны, кроме AnA1 и BnB1, соответственно равны:

A1A2=B1B2, ..., An-1An =Bn-1Bn;

2) углы между этими сторонами у первого многоугольника не больше, чем у второго, т. е.
A2B2, ..., An-1 Bn-1,

причем хотя бы в одном случае имеет место строгое неравенство.

Тогда сторона AnA1 первого многоугольника меньше, чем сторона BnB1 второго:

AnA1<BnB1.

Доказательство проведем индукцией по числу сторон. Пусть число сторон n равно 3. Теорема сводится к следующему: если у двух треугольников две стороны одного равны двум сторонам другого (A1A2=B1B2 и A2A3=B2B3), а углы, заключенные между ними, не равны, то третья сторона больше там, где больше угол. Для плоских треугольников эта теорема имеется в учебниках, для сферических треугольников она доказывается дословно так же. Предположим, что теорема верна для (n-1) -угольников. Докажем ее для n -угольников (n>3). Пусть n-угольники и удовлетворяют условиям теоремы. Имеются две возможности:

1) все углы A2, ..., An-1 строго меньше соответствующих углов B2, ......, Bn-1;

2) среди этих углов имеются равные, скажем Ak= Bk.


Рис. 28.


а) б)
Рис. 29.

Докажем теорему сначала во втором случае: Ak= Bk. Проведем диагонали Ak-1Ak+1 и Bk-1Bk+1 (рис. 28). Они отсекают от многоугольников треугольники T и T' соответственно. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. У многоугольников Q и Q', остающихся после отсечения равных треугольников T и T', соответственные стороны равны: стороны Ak-1Ak+1 и Bk-1Bk+1 равны из-за равенства треугольников T и T'. Углы в многоугольнике Q при вершинах Ak-1 и Ak+1 не больше, чем углы в Q' при соответствующих вершинах Bk-1 и Bk+1. Углы при остальных вершинах в Q и Q' такие же, как и соответствующие углы в и . Итак, многоугольники Q и Q' удовлетворяют тем же условиям, а вершин у них на одну меньше. По предположению индукции, теорема для них верна. Поэтому AnA1<BnB1. Предположим теперь, что все углы A2, ..., An-1 многоугольника строго меньше соответствующих углов . Возьмем вершину Ak выпуклого многоугольника (k1, kn) и проведем хорды A1Ak и AnAk. Многоугольник разбивается, вообще говоря, на два многоугольника Q и R и треугольник T (рис. 29, б). Один из многоугольников Q или R может вырождаться в отрезок.

Будем непрерывно изменять треугольник T, увеличивая его угол при вершине Ak и сохраняя длины его сторон A1Ak и AnAk. Лежащая против увеличивающегося угла сторона A1An увеличивается, так что после деформации сторона A''1A''n будет длиннее A1An. При этой деформации многоугольники Q и R перемещаются как жесткое целое. Увеличим угол Ak до величины Bk. Тогда в деформированном многоугольнике '' (рис. 29, ) A''2< B2, ..., A''n-1< Bn-1, за исключением угла A''k, который равен Bk.

Случай 1) сводится к уже рассмотренному случаю 2), согласно которому B1Bn>A''1A''n>A1An. На этом доказательство теоремы о многоугольниках, данное Коши, заканчивалось.


Рис. 30.

В течение более ста лет теорема считалась доказанной, и только в начале XX века был замечен и закрыт пробел в доказательстве. Дело в том, что ссылка на случай 1) правомерна, если получаемый в результате деформации многоугольник A'' выпуклый. Однако при увеличении угла Ak многоугольник может оказаться невыпуклым (рис. 30). Довольно длинное окончание доказательства мы опускаем.

Нестрого выпуклые многогранники

Как мы знаем, теорема Коши была доказана лишь в случае строго выпуклых многогранников и неверна для невыпуклых многогранников. Обобщение теоремы Коши для нестрого выпуклых многогранников немедленно вытекает из следующей, самой по себе очень интересной теоремы.

Теорема (А. Д. Александров). Даны два, вообще говоря, нестрого выпуклых многогранника одинакового комбинаторного типа. Если соответственные плоские углы их граней равны, то двугранные углы при соответственных ребрах также равны.


Рис. 31.

Обратим внимание на то, что в нестрого выпуклом многограннике, кроме настоящих ребер и вершин, имеются также и фиктивные ребра и вершины. Фиктивное ребро нестрого выпуклого многогранника --- это ребро, двугранный угол при котором равен . Фиктивная вершина --- это вершина, для которой сумма подходящих плоских углов равна 2. Многогранный угол в фиктивной вершине является двугранным углом (вершина A на рис. 31), который, в частности, может вырождаться в плоскость (вершина B на рис. 31). В фиктивной вершине могут сходиться либо два настоящих ребра, либо ни одного. Так как пространственный угол в фиктивной вершине сводится к двугранному, то настоящие ребра, подходящие к ней, должны лежать на одной прямой и быть продолжением друг друга (ребра AC и AD на рис. 31).

Пусть два многогранника M и M' удовлетворяют условиям теоремы. Как и при доказательстве теоремы Коши, сообщим каждому ребру многогранника M знак "+ ", если двугранный угол при ребре больше, чем угол при соответствующем ребре многогранника M', или знак "-", если этот двугранный угол меньше.

Рассмотрим число перемен знака при обходе вершины. Пусть A и A' --- соответственные вершины. Так как настоящая вершина отличается от фиктивной тем, что сумма подходящих плоских углов строго меньше 2, а, по условию теоремы, все соответственные плоские углы у многогранников равны, то вершины A и A' обе либо настоящие, либо фиктивные. Если эти вершины настоящие, то, по лемме 2, как мы уже знаем, число перемен знака при обходе каждой из них либо равно 0 (когда ни одно ребро со знаком к A не подходит), либо не меньше 4.

Рассмотрим случай, когда вершины A и A' фиктивные. Здесь различают две возможности:

1) среди ребер, подходящих к обеим вершинам, имеются настоящие ребра, и при этом одному из настоящих ребер с концом в A соответствует фиктивное ребро с концом в A';

2) все прочие случаи, т. е. когда хотя бы при одной из этих вершин нет настоящих ребер либо настоящие ребра имеются при обеих вершинах и они соответствуют друг другу.

Покажем, что в случае 1) число перемен знака при обходе вершины A равно 4, а в случае 2) вершина A может быть исключена из подсчета общего числа перемен знака.


Рис. 32.

Случай 1). Пусть к обеим фиктивным вершинам A и A' подходят настоящие ребра (их может быть лишь два). Обозначим через a1, a2 настоящие ребра, сходящиеся в вершине A, а через b'1, b'2 --- настоящие ребра, подходящие к вершине, ей соответствующей (рис. 32). Напомним, что настоящие ребра, подходящие к фиктивной вершине, лежат на одной прямой и взаимно дополняют друг друга. Поэтому если настоящему ребру a2 соответствует фиктивное ребро a'2, то и второму настоящему ребру a1 соответствует также фиктивное ребро a'1. Поэтому и обратно, настоящим ребрам b'1 и b'2 в M' соответствуют фиктивные ребра b1, b2 в M. Следовательно, знаки на ребрах a1, b1, a2, b2 суть "-", "+", "-", "+" соответственно. Так как все остальные ребра, подходящие к данным вершинам (если они есть), фиктивные, мы имеем в случае 1) в точности четыре перемены знака при обходе вершины A.

Случай 2) разбивается на три подслучая:

2а) ни к A, ни к A' не подходит ни одного настоящего ребра;

2б) настоящие ребра имеются лишь в одной из них;

2в) настоящие ребра имеются в обеих фиктивных вершинах, и они соответствуют друг другу.

Случай 2а). Настоящих ребер нет ни в A, ни в A'. Соответственные двугранные углы (все равные ) равны между собой. Таким образом, обе вершины и все подходящие к ним ребра находятся внутри некоторой настоящей грани, и их можно исключить.


Рис. 33.

Случаи 2б) и 2в). Пусть к фиктивной вершине A подходит настоящее ребро a1. Следовательно, к этой вершине подходит и другое настоящее ребро a2, которое является продолжением ребра a1. Тогда в случае 2б) все ребра, подходящие к A', должны быть фиктивными. Кроме того, легко понять, что соответствующие ребра a'1 и a'2 также дополняют друг друга. Поэтому мы можем выбросить вершины A и A', а также все сходящиеся в них ребра за исключением a1, a2, a'1 и a'2, которые мы попарно объединяем в два ребра: a1a2 и a'1 a'2. При этом знак у нового ребра a1 a2 будет тот же, что и у исходных ребер a1 и a2 (рис. 33).


Рис. 34.

В случае 2в) ребра a'1 и a'2 также настоящие и дополняют друг друга. Остальные ребра фиктивные. Поэтому, как и в случае 2б), можно исключить обе вершины A и A' и все фиктивные ребра, подходящие к ним. При этом ребра a1 и a2 и, соответственно, a'1 и a'2 лежат на одной прямой, а ребра a1 и a2, кроме того, имеют одинаковый знак. Их можно объединить в новые, более крупные ребра, соответственно a1 a2 и a'1 a'2, и приписать первому из них соответствующий знак (рис. 34).

Таким образом, фиктивные вершины, подчиняющиеся случаю 2), и входящие в них лишние фиктивные ребра можно исключить. Пара оставшихся ребер, входивших в фиктивную вершину, объединяется в одно ребро, которое снабжается общим для старых ребер знаком. Поэтому если на многограннике M имеются отмеченные знаком ребра, то при обходе всякой оставшейся вершины (это либо настоящая вершина, либо фиктивная вершина в случае 1)) не менее четырех перемен знака. А это противоречит лемме 1, согласно которой существует вершина с числом перемен знака не больше 2. Лемма 1 была сформулирована для выпуклых многогранников. В действительности же, как видно из ее доказательства, она верна для любого многогранника, эйлерова характеристика которого равна 2. Полученное противоречие доказывает теорему.


1Леонард Эйлер (1707, Базель, Швейцария -- 1783, Санкт-Петербург) -- гениальный математик, более 30 лет проработал в Санкт-Петербурге, член Петербургской академии наук.

2

Рис. 25.

Это, казалось бы, очевидное утверждение (называемое теоремой Жордана) доказать очень не просто. Оно верно и на плоскости, и на сфере. А вот, например, на поверхности тора оно не верно. На рис. 25 изображен замкнутый путь на торе, не разбивающий поверхность тора на части.

На головную страницу