Broshyury MP, izdannye MCCME v 1999-2005 gg.

МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР
НЕПРЕРЫВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Брошюры серии
Библиотека "Математическое просвещение",
выпущенные издательством МЦНМО в 1999–2005 г.

Последнее обновление 22 декабря 2005 года.

Вып. 1 В. М. Тихомиров. Великие математики прошлого и их великие теоремы.

1999 год

В брошюре доказываются замечательные теоремы великих математиков прошлого — Архимеда (теорема об объёме шара), Ферма (теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов натуральных чисел), Эйлера (равенство e^{\pi i}=-1), Лагранжа (теорема о представлении любого натурального числа в виде суммы четырёх квадратов целых чисел) и Гаусса (теорема о построении циркулем и линейкой правильного семнадцатиугольника).
Вышло 2-е издание брошюры.

Вып. 2 А. А. Болибрух. Проблемы Гильберта (100 лет спустя).

1999 год

24 страницы

Тираж 3000 экз.

Знаменитые проблемы, сформулированные Давидом Гильбертом на Парижском международном математическом конгрессе 1900-го года, оказали определяющее влияние на развитие математики XX столетия. Одна из целей этой брошюры — показать, что многие известные и достаточно сложные математические проблемы возникают вполне естественным образом, так что даже старшеклассник может понять причины появления этих проблем и их формулировки.

Вып. 3 Д. В. Аносов. Взгляд на математику и нечто из неё.

2000 год

32 страницы

Тираж 1500 экз.

В брошюре рассказано о зарождении математики и её дедуктивном построении. Рассмотрены два примера — теорема Пифагора и задача описания всех пифагоровых троек.
Вышло 2-е издание брошюры.

Вып. 4 В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение.

ISBN 5-900916-49-9

2000 год

24 страницы

Тираж 1000 экз.

Изогональное сопряжение относительно треугольника A₁A₂A₃ сопоставляет точке X такую точку Y, что прямая YA_i симметрична прямой XA_i относительно биссектрисы угла A_i (i=1, 2, 3). Это преобразование обладает многими интересными свойствами. В частности, оно переводит друг в друга две замечательные точки треугольника — точки Брокара.

Вып. 5 Н. П. Долбилин. Жемчужины теории многогранников.

ISBN 5-900916-48-0

2000 год

40 страниц

Тираж 2000 экз.

В брошюре, в частности, рассказывается об основных теоремах теории выпуклых многогранников. Это — теорема Коши о единственности выпуклого многогранника с заданными гранями и теорема Александрова о том, из каких развёрток можно склеить выпуклый многогранник.

Вып. 6 А. Б. Сосинский. Мыльные плёнки и случайные блуждания.

ISBN 5-900916-50-2

2000 год

24 страницы

Тираж 4000 экз.

Взаимное влияние математики и её приложений проиллюстрировано на примере задачи о мыльной плёнке, затягивающей проволочный контур. Приближённое решение этой задачи можно получить оригинальным способом, который, на первый взгляд, никак не связан с её постановкой, а именно методом моделирования случайных блужданий.

Вып. 7 И. М. Парамонова. Симметрия в математике.

ISBN 5-900916-56-1

2000 год

16 страниц

Тираж 1000 экз.

В брошюре рассказывается о том, что понимается под симметрией в современной математике и как идеи, связанные с симметрией, помогают решать самые разные задачи. В частности, объясняется, что такое группа преобразований и её инварианты.
Вышло 2-е издание брошюры.

Вып. 8 В. В. Острик, М. А. Цфасман. Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые.

ISBN 5-900916-71-5

2001 год

48 страниц

Тираж 1500 экз.

Многие естественные вопросы из теории чисел красиво решаются геометрическими методами, точнее говоря, методами алгебраической геометрии — области математики, изучающей кривые, поверхности и т. д., задаваемые системами полиномиальных уравнений. В книжке это показано на примере нескольких красивых задач теории чисел, связанных с теоремой Пифагора.

Вып. 9 Б. П. Гейдман. Площади многоугольников.

Брошюра посвящена вычислению площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции и других многоугольников. Рассмотрены решения 20 задач, сгруппированных вокруг следующих вопросов: равновеликость и равносоставленность многоугольников; медиана делит треугольник на два треугольника равной площади; разрезание треугольника и выпуклого четырёхугольника на две равновеликие части.

Приведены 16 задач (с ответами и указаниями) для самостоятельного решения.
Вышло 2-е издание брошюры.

Вып. 10 А. Б. Сосинский. Узлы и косы.

ISBN 5-900916-76-6

2001 год

24 страницы

Тираж 3000 экз.

Красивые и наглядные понятия узла и косы сейчас в центре внимания современной математики и физики. В брошюре обсуждаются их простейшие геометрические и алгебраические свойства и их компьютерная обработка.

Вып. 11 Э. Б. Винберг. Симметрия многочленов.

ISBN 5-900916-89-8

2001 год

24 страницы

Тираж 3000 экз.

Как и плоские фигуры или пространственные типы, многочлены могут обладать симметрией. Тип симметрии какого-либо объекта определяется набором (группой) преобразований, которые его сохраняют. Например, так называемые симметрические многочлены — это многочлены, не изменяющиеся при любой перестановке переменных.

В брошюре рассказывается о том, как описываются многочлены с данным типом симметрии, и объясняется, для чего это может понадобиться. В частности, многочлены, обладающие симметрией правильных многогранников, применяются к построению эффективных приближенных формул интегрирования на сфере.

Вып. 12 В. Г. Сурдин. Динамика звездных систем.

ISBN 5-900916-90-1

2001 год

32 страницы

Тираж 5000 экз.

Великие астрономические открытия Николая Коперника, Тихо Браге, Иоганна Кеплера, Галилео Галилея положили начало новой научной эре, стимулируя развитие точных наук. Астрономии выпала большая честь заложить основания естествознания: в частности, создание модели планетной системы привело к по-явлению математического анализа.

Из этой брошюры читатель узнает о многих фантастических достижениях астрономии, сделанных в последние десятилетия.

Текст брошюры представляет собой дополненную автором обработку записи лекции, прочитанной им для школьников 9-11 классов 11 ноября 2000 года на Малом мехмате МГУ.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей...

Вып. 13 В. О. Бугаенко. Уравнения Пелля.

ISBN 5-900916-96-0

2001 год

32 страницы

Тираж 3000 экз.

Уравнения Пелля представляют собой класс диофантовых уравнений второй степени. Они связаны со многими важными задачами теории чисел. Решение уравнений Пелля — задача непростая, хотя и выполнимая методами элементарной математики. Ключевую роль в исследовании этих уравнений играет геометрическая лемма Минковского о выпуклом теле. Эта лемма неожиданно возникает во многих задачах теории чисел и является одним из ярких примеров связи алгебры и геометрии.

Основной результат, которому посвящена брошюра, — полное описание решений уравнений Пелля.

Текст брошюры представляет собой обработанную и расширенную запись двух лекций, прочитанных автором 19 февраля и 15 апреля 2000 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9-11 классов.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей...

Вып. 14 В. И. Арнольд. Цепные дроби.

ISBN 5-94057-014-3

2001 год

40 страниц

Тираж 3000 экз.

Теория цепных дробей связана с теорией приближений вещественных чисел рациональными, с теорией динамических систем, а также со многими другими разделами математики. В брошюре рассказано о связи цепных дробей с геометрией выпуклых многоугольников. Из этой связи следует, например, что цепная дробь периодична в тех и только тех случаях, когда выражаемое ей число является корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Рассказано также о том, насколько часто среди элементов цепной дроби, выражающей произвольное вещественное число, встречается единица (двойка, тройка,..). В заключительном разделе брошюры содержится обзор результатов, связаных с многомерными обобщениями классической теории цепных дробей, полученных в последнее время.

Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции, прочитанной автором для школьников 9–11 классов 2 декабря 2000 года на Малом мехмате МГУ.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей, а отчасти она будет интересена и профессиональным математикам.

Вып. 15 В. М. Тихомиров. Дифференциальное исчисление (теория и приложения).

ISBN 5-94057-016-X

2002 год

40 страниц

Тираж 3000 экз.

Дифференциальное исчисление, возникшее более трехсот лет назад в работах Ньютона и Лейбница, открыло новую эпоху в развитии науки. Оно послужило основой для создания современной математики и нашло многочисленные применения в естествознании и технике.

В этой брошюре вводятся основные понятия дифференциального исчисления: предел, производная, непрерывность функции, и рассказывается о применении этих понятий в механике, биологии, социологии и других областях. Читатель также узнает о том, как менялись представления ученых о дифференциальном исчислении в течение последних трех столетий.

Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции "Экстремумы функции одной переменной", прочитанной автором 24 февраля 2000 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов.

Вып. 16 В. А. Скворцов. Примеры метрических пространств.

ISBN 5-94057-002-X

2002 год

24 страницы

Тираж 3000 экз.

В математике часто рассматриваются множества, между элементами ("точками") которых определено расстояние (метрика). Такие множества называют метрическими пространствами, если выполнены соответствующие аксиомы. Существует много разных способов определить расстояние в разных множествах. В брошюре обсуждается, как можно измерять расстояние не только между точками на плоскости, но и между кривыми, множествами, функциями. Важным примером расстояния между кривыми является хаусдорфова метрика. Многие метрические пространства разительно отличаются от привычной евклидовой плоскости. Примером метрики с необычными свойствами может служить p-адическая метрика, относящаяся к классу так называемых неархимедовых метрик.

Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции, прочитанной автором 17 февраля 2001 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов.

Вып. 17 В. Г. Сурдин. Пятая сила.

ISBN 5-94057-027-5

2002 год

40 страниц

Тираж 3000 экз.

Среди четырех фундаментальных сил природы — гравитационной, электромагнитной, сильной и слабой ядерной — приливной силы нет. Тем не менее, вызванные приливными силами эффекты влияют на движение планет, звезд и галактик, расположение созвездий, на погоду, навигацию, на рост растений и эволюцию биосферы. Даже идея создания машины времени, которую можно было бы осуществить, используя черные дыры, наталкивается на почти непреодолимое препятствие — приливные силы.

Брошюра написана по материалам лекции "Приливные силы на Земле и в космосе", прочитанной автором 1 декабря 2001 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся физикой, астрономией, математикой: школьников старших классов, студентов, учителей...

Вып. 7 И. М. Парамонова. Симметрия в математике.
2-е издание, дополненное.

ISBN 5-94057-028-3

2002 год

24 страницы

Тираж 3000 экз.

1-е издание

Текст брошюры представляет собой обработку записей лекций, прочитанных автором 12 февраля 2000 года (запись Е.Н.Осьмовой, под редакцией Р.М.Кузнеца) и 27 октября 2001 года (запись М.Ю.Панова, под редакцией А.А.Ермаченко) на Малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов.

Вып. 18 А. В. Жуков. О числе p.

ISBN 5-94057-030-5

2002 год

32 страницы

Тираж 3141 экз.

Изучение числа p — задача, интересующая математиков на протяжении нескольких тысячелетий. В этой брошюре излагается история вычислений числа p, начиная от Архимеда и заканчивая новейшими сверхэффективными алгоритмами. Рассказывается также о различных проблемах, связанных с этим числом, некоторые из которых пока остаются нерешёнными.

Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 22 декабря 2001 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9—11 классов.

Для широкого круга читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей...

Вып. 9 Б. П. Гейдман. Площади многоугольников.
2-е издание, стереотипное.

ISBN 5-94057-029-1

2002 год

24 страницы

Тираж 3000 экз.

1-е издание

Приведены 16 задач (с ответами и указаниями) для самостоятельного решения.

Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции, прочитанной автором для школьников 8–11 классов 21 октября 2000 года на Малом мехмате МГУ (запись Е. Н. Осьмовой, под редакцией А. А. Ермаченко).

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников, учителей...

Вып. 19 А. Г. Мякишев.Элементы геометрии треугольника.

ISBN 5-94057-048-8

2002 год

32 страницы

Тираж 2000 экз.

Геометрия треугольника справедливо считается одним из интереснейших разделов элементарной геометрии.

В данной брошюре рассматриваются различные замечательные точки и прямые треугольника, а также некоторые преобразования плоскости, связанные с треугольником. Брошюра содержит краткое введение в барицентрическое исчисление — один из основных методов исследования свойств треугольника.

Текст брошюры подготовлен по материалам лекции, прочитанной автором 13 апреля 2002 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов.

Вып. 20 И. В. Ященко. Парадоксы теории множеств.

ISBN 5-94057-003-8

2002 год

40 страниц

Тираж 3000 экз.

При развитии теории множеств, на которой базируется вся современная математика, возникали парадоксы. Например, парадокс брадобрея, формулируемый следующим образом:

Бреет ли себя брадобрей, если он бреет тех

и только тех, кто сам себя не бреет?

В брошюре рассказывается о том, как теория множеств обходится с подобными ситуациями, а также о других парадоксах, в том числе возникающих при рассмотрении аксиомы выбора. В частности, вы узнаете, как из одного апельсина сделать два.

В приложении 3 приведены задачи, самостоятельное решение которых поможет читателю более полно разобраться в материале брошюры.

Текст брошюры представляет собой обработанные записи лекций, прочитанных автором 8 апреля 2000 года на Малом мехмате для школьников 9–11 классов (запись Е. Н. Осьмовой) и в июле 2001 года в рамках летней школы "Современная математика" для школьников 10–11 классов и студентов 1–2 курса (запись Ю. Л. Притыкина).

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, учителей.

Вып. 21 И. Х. Сабитов. Объёмы многогранников.

ISBN 5-94057-003-8

2002 год

32 страницы

Тираж 3000 экз.

Изложение материала начинается с формулы, выражающей объём тетраэдра через длины его рёбер. Эту формулу можно найти почти во всех справочниках по математике, но мало кто знает её историю. В брошюре разбираются доказательства этой формулы, принадлежащие Тарталье (XVI век) и Эйлеру (XVIII век), и даются современные их варианты. Сформулирована и прокомментирована теорема, обобщающая формулу объёма тетраэдра на любые многогранники и дающая как простое следствие решение проблемы "кузнечных мехов", утверждающей постоянство объёма изгибаемого многогранника. Даются также примеры изгибаемых многогранников.

Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции для школьников 9–11 классов, прочитанной автором на Малом мехмате МГУ 10 марта 2001 года (запись Е. А. Чернышёвой).

Вып. 22 А. Л. Семёнов. Математика текстов.

ISBN 5-94057-006-2

2002 год

16 страниц

Тираж 3000 экз.

В брошюре рассматриваются идеи и конструкции, лежащие в основе "математики текстов"; среди примеров её результатов — несчётность множества последовательностей из нулей и единиц, невозможность создать программу, распознающую самоприменимость программ. Обсуждается важное понятие сложности текста по Колмогорову, позволяющее отличать случайные тексты от неслучайных.

Текст брошюры представляет собой обработанную запись лекции, прочитанной автором 5 декабря 1999 года для участников III Международного математического турнира старшеклассников "Кубок памяти А. Н. Колмогорова" — школьников 8–11 классов. (Запись Е. Н. Осьмовой, обработка Р. М. Кузнеца.)

Вып. 23 М. А. Шубин. Математический анализ для решения физических задач.

ISBN 5-94057-075-5

2003 год

40 страниц

Тираж 5000 экз.

Эта брошюра основана на лекциях, дважды прочитанных автором в Красноярской краевой летней школе по естественным наукам школьникам, окончившим 10-й класс. В ней кратко объясняются основные понятия математического анализа (производная и интеграл) и даются простейшие приложения к физическим задачам, основанные на составлении и решении дифференциальных уравнений.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей: школьников, студентов, учителей.

Вып. 24 А. И. Дьяченко. Магнитные полюса Земли.

ISBN 5-94057-080-1

2003 год

48 страниц

Тираж 3000 экз.

Географические полюса нашей планеты располагаются в Арктике и Антарктиде. А куда мы в конце концов придём, если будем идти по компасу точно на север? На северный географический полюс? Нет, магнитный северный полюс не совпадает с географическим. И в разные годы стрелка компаса может привести нас в разные места: магнитные полюса, в отличие от географических, не стоят на месте!

В брошюре рассказывается о магнитном поле Земли, об истории изучения магнитных полюсов, а также об истории перемещения полюсов и нынешнем их движении.

Текст брошюры подготовлен по материалам лекции, прочитанной автором 5 октября 2002 года на Малом мехмате для школьников 7–8 классов.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей: школьников, студентов, учителей.

Вып. 3 Д. В. Аносов. Взгляд на математику и нечто из неё.

ISBN 5-94057-111-5

2003 год

24 страницы

Тираж 3000 экз.

1-е издание

В брошюре рассказано о зарождении математики и её дедуктивном построении. Рассмотрены два примера — теорема Пифагора и задача описания всех пифагоровых троек.

Текст брошюры представляет собой обработку записи лекции, прочитанной лауреатом Государственной премии СССР академиком РАН Д. В. Аносовым 5 декабря 1999 года для участников III Международного математического турнира старшеклассников "Кубок памяти А. Н. Колмогорова" — школьников 8–11 классов.

Вып. 25 С. М. Гусейн-Заде. Разборчивая невеста.

ISBN 5-94057-076-3

2003 год

24 страницы

Тираж 3000 экз.

Примерно 40 лет тому назад М. Гарднер придумал такую задачу: "В некотором царстве, в некотором государстве пришло время принцессе выбирать себе жениха. В назначенный день явились 1000 царевичей. Их построили в очередь в случайном порядке и стали по одному приглашать к принцессе. Про любых двух претендентов принцесса, познакомившись с ними, может сказать, какой из них лучше. Познакомившись с претендентом, принцесса может либо принять предложение (и тогда выбор сделан навсегда), либо отвергнуть его (и тогда претендент потерян: царевичи гордые и не возвращаются). Какой стратегии должна придерживаться принцесса, чтобы с наибольшей вероятностью выбрать лучшего?".

В 1965 году формулировку этой задачи и её решение рассказал на своём семинаре Е. Б. Дынкин. Но его метод был необобщаем на другие варианты задачи: например, когда целью является выбор не наилучшего, а одного из трёх лучших. В таком виде задача была решена автором при помощи метода, который легко переносится и на ряд близких задач. Так из полушуточной задачи вырос новый раздел математики — теория оптимальной остановки случайных процессов.

Текст брошюры представляет собой обработку записи лекции, прочитанной автором 30 ноября 2002 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов (запись Ю. Л. Притыкина).

Вып. 26 К. П. Кохась. Ладейные числа и многочлены.

ISBN 5-94057-114-Х

2003 год

20 страниц

Тираж 3000 экз.

В брошюре рассказано о популярном и очень наглядном комбинаторном объекте: ладейных числах и ладейных многочленах. Рассмотрены всевозможные неравенства между ладейными числами. Отталкиваясь от комбинаторных наблюдений, доказана основная теорема о том, что ладейный многочлен любой доски имеет только вещественные корни. Это позволяет вывести много новых, неожиданных с точки зрения комбинаторики неравенств. Вместе с тем, некоторые комбинаторные неравенства ещё ждут своих аналитических доказательств. Текст брошюры может рассматриваться как обзор элементарных результатов о ладейных многочленах.

Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи лекции для школьников 9–11 классов, прочитанной автором на Малом мехмате МГУ 21 декабря 2002 года.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов, учителей.

Вып. 1 В. М. Тихомиров. Великие математики прошлого и их великие теоремы. 2-е изд., испр.

В брошюре доказываются замечательные теоремы великих математиков прошлого — Архимеда (теорема об объёме шара), Ферма (теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов натуральных чисел), Эйлера (равенство e^pi =–1), Лагранжа (теорема о представлении любого натурального числа в виде суммы четырёх квадратов целых чисел) и Гаусса (теорема о построении циркулем и линейкой правильного семнадцатиугольника).

Текст брошюры представляет собой обработку записи лекции, прочитанной автором 30 октября 1999 года на Малом мехмате для школьников 9–11 классов (запись Е.Н. Осьмовой, обработка Р.М. Кузнеца).

Вып. 27 C. Г. Смирнов. Прогулки по замкнутым поверхностям.

ISBN 5-94057-120-4

2003 год

28 страниц

Тираж 3000 экз.

Изучение замкнутых поверхностей началось в XVIII веке с теоремы Эйлера: В–Р+Г=2 для всякого выпуклого многогранника. Но для невыпуклых многогранников выражение X=В–Р+Г может принимать совсем другие значения. Приняв значение X за численную характеристику поверхности, мы получаем её первый топологический инвариант: он позволяет доказать, например, что тор не эквивалентен кренделю. Но различить таким образом тор и бутылку Клейна не удаётся: нужен другой инвариант, выражающий ориентируемость поверхности. В конце XIX века Пуанкаре навёл алгебраический порядок среди всех замкнутых поверхностей. Одновременно Хивуд связал эйлерову характеристику X с наименьшим числом цветов, необходимых для раскраски любой карты на данной поверхности. В XX веке геометры стали изучать поверхности с новой точки зрения: какие из них являются границами неких тел, и какие из них можно изобразить в пространстве без самопересечений. Пути решения этих проблем рассмотрены в брошюре.

Вып. 28 А. М. Райгородский. Хроматические числа.

ISBN 5-94057-121-2

2003 год

44 страницы

Тираж 3000 экз.

В сороковые годы XX века известными математиками П. Эрдёшом и Г. Хадвигером была поставлена одна из самых коротко формулируемых и в то же время одна из самых ярких и трудных задач комбинаторной геометрии — задача о нахождении хроматического числа Х(Rⁿ) евклидова пространства Rⁿ, т. е. минимального числа цветов, в которые можно так раскрасить точки пространства, чтобы точки, отстоящие друг от друга на расстояние 1, оказались раскрашенными в разные цвета.

Эта задача до сих пор не решена даже для n=2, т. е. для плоскости, хотя простотой и естественностью своей постановки она сразу привлекла внимание всех математиков. К настоящему времени разработано много интересных и остроумных подходов к её (пока частичному) решению.

Текст брошюры представляет собой запись лекции, прочитанной автором 7 декабря 2002 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов.

Вып. 29 С. Б. Гашков. Системы счисления и их применение.

ISBN 5-94057-146-8

2004 год

52 страницы

Тираж 5000 экз.

Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах, начиная с вычислений младшеклассника, выполняемых карандашом на бумаге, кончая вычислениями, выполняемыми на суперкомпьютерах. В книжке кратко изложены и занимательно описаны некоторые из наиболее популярных систем счисления, история их возникновения, а также их применения, как старые, так и новые, как забавные, так и серьёзные.

Большая её часть доступна школьникам 7–8 классов, но и опытный читатель может найти в ней кое-что новое для себя. Текст книжки написан на основе лекций, прочитанных автором в школе им. А.Н. Колмогорова при МГУ и на Малом мехмате МГУ.

Книжка рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников, учителей.

Вып. 30 Ю. П. Соловьёв. Неравенства.

ISBN 5-94057-190-5

2005 год

16 страниц

Тираж 3000 экз.

В брошюре различными способами доказываются известные, в том числе из школьной программы, неравенства Коши, Йенсена, Коши-Буняковского. Многие утверждения сформулированы в виде упражнений, решения которых приведены в конце брошюры. Кроме того, приведён список задач для самостоятельного решения.

Текст брошюры представляет собой запись лекции, прочитанной автором 6 октября 2001 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов (запись А.А. Белкина).

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников, учителей.

Вып. 31 В. Ю. Протасов. Максимумы и минимумы в геометрии.

ISBN 5-94057-193-X

2005 год

56 страниц

Тираж 3000 экз.

Текст брошюры подготовлен по материалам лекции, прочитанной автором 21 февраля 2004 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов.

Читатель познакомится с такими классическими задачами на максимум и минимум, как задача Фаньяно, задача о построении фигуры максимальной площади заданного периметра, задача Штейнера о кратчайшей системе дорог и многими другими. Одна из глав посвящена коническим сечениям и их фокальным свойствам. В брошюре излагаются решения перечисленных выше задач, особое внимание уделено проблеме доказательства существования решения в экстремальных задачах. В конце каждого раздела помещён набор задач для самостоятельного решения.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся математикой: школьников старших классов, студентов младших курсов, а также школьных учителей, руководителей математических кружков. При чтении последних разделов будет полезным (но не обязательным) знакомство с началами математического анализа.

Вып. 32 А. В. Хачатурян. Геометрия Галилея.

ISBN 5-94057-221-9

2005 год

32 страницы

Тираж 3000 экз.

Планиметрия — наука о свойствах фигур плоскости, инвариантных относительно движений плоскости. Фигуры, которые можно совместить движениями, геометрия считает равными и не различает. Всем известны движения евклидовой планиметрии: параллельный перенос, поворот, осевая симметрия. Если изменить группу движений, например, добавить преобразования подобия, то изменится и геометрия. В определённом смысле любая группа преобразований порождает свою геометрию.

В брошюре рассказывается о геометрии, которую порождают преобразования инерциальных систем отсчёта, знакомые из школьного курса физики. Такую геометрию принято называть геометрией Галилея. В чём-то эта странная геометрия отличается от евклидовой, а в чём-то похожа на неё.

Текст брошюры представляет собой обработку записи лекции, прочитанной автором 30 марта 2002 года на Малом мехмате МГУ для школьников 9–11 классов.