|
|
На этой странице собраны брошюры, вышедшие по мотивам лекций школ разных лет.
Рабочие материалы школ можно найти по ссылкам "Материалы"
за каждую из прошедших школ.
Видеозаписи лекций и некоторых занятий Школы размещены в
видеотеке сайта Math-Net.ru.
|
 |
В. И. Арнольд, Астроидальная геометрия гипоциклоид и гессианова топология гиперболических многочленов, МЦНМО, 2001.
Недавнее появление астроид и гипоциклоид в качестве ответов и моделей в целом ряде различных задач теории особенностей, теории каустик и волновых фронтов, теорий эволют и эвольвент, сделало ясным фундаментальное значение этих объектов и привело к открытию большого числа новых фактов, относящихся то к геометрии и анализу, то к физике и теории распространения волн, то к симплектической и контактной топологии, то к вариационному исчислению и оптимальному управлению.
Обнаружение связи между гессиановой топологией и астроидальной геометрией явилось полной неожиданностью и немедленно привело к быстрому прогрессу в обеих областях, который и описан в настоящей книге.
По материалам этой книги автором был прочитан миникурс участникам Летней школы «Современная математика» (школьникам старших классов и студентам I-II курсов) в Дубне 17-26 июля 2001 года.
Книга представляет интерес для широкого круга подготовленных читателей, интересующихся математикой.
PDF-файл (1.2М)
|
 |
А. А. Болибрух, Уравнения Максвелла и дифференциальные формы, МЦНМО, 2002.
Брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором участникам Летней школы «Современная математика» в Дубне 16 и 19 июля 2001 года.
В брошюре рассказывается об основных понятиях дифференциальной геометрии: дифференциальных формах, расслоениях и связностях и об их использовании в современной физике.
Брошюра адресована студентам младших курсов.
PDF-файл (274К)
|
 |
Ю. М. Бурман, О проективных пространствах и движениях, МЦНМО, 2001.
Брошюра написана по материалам цикла лекций, прочитанных автором участникам Летней школы «Современная математика» в Дубне 22-26 июля 2001 года.
Основное их содержание составляют два различных доказательства хорошо известного факта -- существования гомеоморфизма между трехмерным проективным пространством P3 и специальной ортогональной группой SO(3).
Брошюра адресована старшим школьникам и младшим студентам.
PDF-файл (204К)
|
 |
М. Н. Вялый, Линейные неравенства и комбинаторика, МЦНМО, 2003.
Брошюра написана по материалам семинаров, проведенных автором для участников Летней школы «Современная математика» в Дубне в июле 2001 г.
В брошюре доказаны слабая гипотеза Бержа, теорема двойственности для задач линейного программирования и теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе.На примере доказательства слабой гипотезы Бержа читатель знакомится с основными понятиями линейного программирования и применением методов линейного программирования в теории графов. Затем доказываются две яркие теоремы линейного программирования: теорема двойственности и теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе. Материал, изложенный в книге, иллюстрирует связь линейного программирования и теории графов, а также служит введением в линейное программирование.
Брошюра адресована старшим школьникам и студентам младших курсов.
PDF-файл (224К)
|
 |
М. Э. Казарян, Дифференциальные формы, расслоения, связности, МЦНМО, 2002.
Брошюра написана по материалам цикла занятий, проведенных автором в Летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2001 года.
Читатель знакомится с основными понятиями дифференциальной геометрии -- дифференциальными формами, расслоениями, метриками, связностями. При этом изложение ведется на языке, который не требует использования сложных формул с многоэтажными индексами, столь обычных для данного предмета.
Брошюра адресована старшим школьникам и младшим студентам.
PDF-файл (234К)
|
 |
В. А. Тиморин, Комбинаторика выпуклых многогранников, МЦНМО, 2002.
Брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором участникам Летней школы «Современная математика» в Дубне 16 и 17 июля 2001 года.
Они были посвящены двум глубоким и важным результатам из комбинаторики выпуклых многогранников — соотношениям Дена-Соммервиля и теореме о максимальном числе граней.
Доказательства этих фактов, придуманные в 80-е годы, произвели в свое время сенсацию: они замечательны по своей простоте и доступны любому усердному уму, несмотря на то, что основаны на глубоких идеях современной математики.
Брошюра написана кратко, но очень ясно. Такое изложение материала оставляет читателю обильную пищу для размышлений.
Адресована студентам младших курсов, хотя доступна и подготовленным школьникам старших классов.
PDF-файл (207К)
|
 |
В. М. Тихомиров, Выпуклый анализ и его приложения, МЦНМО, 2001.
Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором участникам Летней школы «Современная математика» в Дубне 19 июля 2001 года.
Описываются основные понятия и методы выпуклого анализа, рассказывается об истории развития этой науки.
Брошюра адресована студентам младших курсов, хотя доступна и подготовленным школьникам старших классов.
PDF-файл (325К)
|
 |
И. В. Аржанцев, Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений, МЦНМО, 2003.
Читатель знакомится с важным понятием современной алгебры — базисом Грёбнера идеала в кольце многочленов от многих переменных и приложениями этого понятия к решению систем нелинейных алгебраических уравнений, в частности, с эффективным алгоритмом, позволяющим для произвольной системы выяснить конечно или бесконечно число ее решений. В обоснованиях полученных результатов ключевую роль играет теорема Гильберта о нулях.
От читателя требуются лишь начальные знания алгебры. Брошюра предназначена для студентов младших курсов.
Издано по материалам курса, прочитанного в Дубне в 2002 году.
|
 |
Ю. С. Ильяшенко, Аттракторы и их фрактальная размерность, МЦНМО, 2005.
Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором в летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2004 г. Она посвящена одному из разделов теории динамических систем — аттракторам и их хаусдорфовой (фрактальной) размерности. Рассматриваются различные примеры отображений, порождающие как странные, так и классические аттракторы. В качестве основного примера странных аттракторов рассматривается соленоид Смейла-Вильямса, проводится аналогия между ним и канторовым совершенным множеством.
От читателя не требуется никаких начальных знаний из теории дифференциальных уравнений. Брошюра адресована старшим школьникам и студентам младших курсов.
PDF-файл (875К)
|
 |
Д. В. Аносов, Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем, МЦНМО, 2008.
В книге рассказывается о дифференциальных уравнениях. В одних случаях автор объясняет, как решаются дифференциальные уравнения, а в других — как геометрические соображения помогают понять свойства их решений. (С этим и связаны слова "то решаем, то рисуем" в названии книги.) Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения "хаоса" в поведении детерминированных объектов.
Книга рассчитана на интересующихся математикой школьников старших классов. От них требуется лишь понимание смысла производной как мгновенной скорости. Книга не заменяет вузовские учебники, но так как в ней затрагиваются и не освещаемые в них вопросы, а часть других вопросов освещается иначе, то она может заинтересовать и студентов вузов со значительной математической программой.
Издано по материалам курса, прочитанного в Дубне в 2005 году.
|
 |
В. И. Арнольд, Экспериментальное наблюдение математических фактов, МЦНМО, 2007.
Книга содержит записи курсов лекций, прочитаных академиком В. И. Арнольдом в 2005 г., в Дубне, на летней школе «Современная математика». В книге рассказывается о нескольких новых направлениях математических исследований, основанных на численных экспериментах.
|
 |
В. О. Бугаенко, Обобщённая теорема Ван дер Вардена, МЦНМО, 2006.
Брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором в летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2005 г. Она посвящена доказательству обобщённой теоремы Ван дер Вардена. Эта теорема является обобщением следующей элементарной задачи: если множество целых чисел покрашено в конечное число цветов, то найдётся арифметическая прогрессия сколь угодно большой конечной длины, члены которой раскрашены в один цвет.
Брошюра адресована старшим школьникам и студентам младших курсов. Никаких предварительных знаний от читателя не требуется.
|
 |
Ю. С. Ильяшенко, Эволюционные процессы и философия общности положения, МЦНМО, 2007.
Брошюра написана по материалам лекций, прочитанных автором в Летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2005 г. В первой части описывается возможное поведение типичных динамических систем на плоскости и двумерной сфере, т. е. рассматривается вопрос о том, куда могут накапливаться траектории динамической системы. Вторая часть брошюры рассказывает о том, что многомерный случай принципиально отличается от двумерного — анализируется пример отображения (подкова Смейла) со счётным числом периодических орбит, не исчезающих при малом возмущении.
От читателя не потребуется никаких знаний из теории дифференциальных уравнений, предполагается лишь знакомство с понятием производной. Брошюра адресована старшим школьникам и студентам.
|
 |
В. А. Успенский, Четыре алгоритмических лица случайности, МЦНМО, 2006.
Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором 23 июля 2005 года в летней школе «Современная математика» в Дубне. Она посвящена формализации такого интуитивно ясного термина, как "случайность". В брошюре рассматривается четыре разных подхода к этому понятию, основанных на характерных свойствах случайных последовательностей: частотоустойчивость, хаотичность, типичность и непредсказуемость. Вводятся важнейшие в теории алгоритмов понятия перечислимости, вычислимости, энтропии и колмогоровской сложности. С их помощью и можно попытаться ответить на вопрос, с которым не справляется классическая теория вероятностей: определить, можно ли, например, индивидуальную последовательность нулей и единиц считать случайной или нет. В последней главе проводится обобщение понятий частотоустойчивости, хаотичности, типичности и непредсказуемости на случай вычислимого распределения.
Брошюра адресована старшим школьникам и студентам младших курсов. Предварительных знаний от читателя не потребуется, однако будет полезным знакомство с теорией алгоритмов, а для чтения последней главы — с основными понятиями теории вероятностей.
PDF-файл (298К)
|
 |
А. М. Райгородский, Вероятность и алгебра в комбинаторике, МЦНМО, 2008.
Настоящая брошюра возникла на основе лекций, прочитанных автором на летней математической школе «Современная математика» в Дубне в 2006 г. В ней рассказывается о двух мощных методах современного дискретного анализа — вероятностном и алгебраическом. Оба эти метода широко применяются сейчас для решения различных задач экстремальной комбинаторики. В частности, многие важные аспекты таких классических проблем, как проблема Борсука или проблема отыскания чисел Рамсея, рассматриваются исключительно с позиций вероятностной и алгебраической технологий. В брошюре на наиболее ярких примерах подобных задач излагаются основы методов. Необходимые сведения из (элементарной) теории вероятностей, анализа и алгебры приводятся в конце брошюры в специальном разделе. Брошюра доступна студентам младших курсов и даже школьникам. Однако полезна она может быть всем, кто интересуется комбинаторикой.
|
 |
А. Б. Скопенков, Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах, МЦНМО, 2009.
Настоящая брошюра возникла на основе курса лекций, прочитанных автором на летней математической школе «Современная математика» в Дубне в 2007 г. В ней показано, как при решении интересных геометрических проблем, близких к приложениям, естественно возникают различные понятия кривизны, отличающей изучаемую геометрию от "обычной". Приведены прямые элементарные определения этих понятий.
Брошюра предназначена студентам, аспирантам, работникам науки и образования, изучающим и применяющим дифференциальную геометрию. Для ее изучения достаточно владения основами анализа функций нескольких переменных (а во многих местах не нужно даже этого). Материал преподнесен в виде циклов задач.
|
 |
В. И. Арнольд, Вещественная алгебраическая геометрия, МЦНМО, 2009.
Эта брошюра, написанная выдающимся современным математиком
академиком РАН В.И.Арнольдом, основана на прочитанных
автором популярных лекциях для старшеклассников.
В живой и увлекательной форме излагаются основы теории
алгебраических кривых в самых разных аспектах:
от свойств конических сечений и до шестнадцатой проблемы
Гильберта и понятия рода комплексной кривой.
Рекомендуется всем интересующимся математикой,
начиная со старшеклассников и студентов младших курсов.
|
 |
И. В. Аржанцев, Градуированные алгебры и 14-я проблема Гильберта, МЦНМО, 2009.
Учебное пособие посвящено классическим задачам коммутативной алгебры и теории инвариатов. Помимо начальных сведений о градуированных алгебрах, их рядах Пуанкаре и многочленах Гильберта, приводятся доказательства теоремы Маколея о размерностях компонент стандартных градуированных алгебр, формулы Молина для ряда Пуанкаре алгебры инвариантов конечной линейной группы и теоремы Нагаты-Стейнберга о том, что алгебра инвариантов некоторой явно заданной линейной алгебраической группы не является конечно порожденной. Последний результат является контрпримером к 14-й проблеме Гильберта. Пособие содержит более 40 задач, к каждой из которых даны подробные указания. Излагаемый материал доступен студентам младших курсов физико-математических специальностей университетов.
Для студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников, интересующихся алгеброй, геометрией и комбинаторикой.
Издано по материалам курса, прочитанного в Дубне в 2007 году.
|
 |
Е.Ю. Смирнов, Группы отражений и правильные многогранники,
МЦНМО, 2009.
Брошюра написана по материалам цикла лекций, прочитанных автором участникам Летней
школы «Современная математика» в Дубне 20–26 июля 2008 г.
В ней излагается классификация правильных многогранников
в евклидовом пространстве произвольной размерности.
Попутно читатель знакомится с такими важными алгебраическими
понятиями, как группы отражений и системы корней.
Материал, изложенный в брошюре, иллюстрирует связь геометрии,
теории групп и комбинаторики.
Брошюра адресована студентам младших курсов.
|
 |
А.М. Райгородский, Системы общих представителей в комбинаторике и их приложения в геометрии, МЦНМО, 2009.
Настоящая книга посвящена различным аспектам задачи
о системах общих представителей в комбинаторике.
Рассказывается о многочисленных приложениях
в комбинаторной геометрии, геометрии чисел,
математической статистике и др. Книга написана
по лекциям, которые ее автор читал в 2007 году
на школе «Современная математика» в Дубне.
Поэтому материал в ней изложен так, чтобы б'ольшая
его часть оказалась доступной первокурсникам.
Однако материала много, и в конечном счете в книге
возникает весьма нетривиальная техника,
в том числе вероятностная.
Книга будет интересна всем, кто интересуется
современной комбинаторикой и ее приложениями.
|
|
